海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2019．4
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 A 8 B 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
129．30 10．7 11．①，④ 12．1 13．(,) 14．?；18??.
35三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知T?4(??2??)??,???2， 24T ………………2分
又由f()?1得，sin(???)?1，又f(0)??1，得sin???1
?2
?|?|???????2， ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)?sin(2x?因为g(x)?(?cos2x)[?cos(2x??2)??cos2x ………………6分
1)]?cos2xsin2x?sin4x ………………9分 22??k??k?? 所以，2k???4x?2k??，即??x?? (k?Z).……………12分
222828k??k??故函数g(x)的单调增区间为[ ……………13分 ?,?] (k?Z).
282816．（本小题满分13分）
解：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.
则P(A)??111,P(B)?,P(C)?. 632111?? 632
………………3分
（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.
?P?P(A)?P(B)? ………………6分
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.
随机变量X的可能值为0，30，60，90，120.
1. 2
………………7分
111P(X?0)???;224111P(X?30?)???2;2331111 P(X?60?)???2??2633111P(X?90?)???2;369111P(X?120?)??.66365 ; 18………………10分
所以，随机变量X的分布列为： 0 30 60 P 90 120 X 1 41 35 181 91 36 ………………12分
其数学期望EX?0?11511?30??60??90??120??40 .………13分 431893617． （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：因为A1A?AC，且O为AC的中点， 1 所以AO?AC. 1
………………1分
又由题意可知，平面AAC 11C?平面ABC，交线为AC，且A1O?平面AA1C1C， 所以A1O?平面ABC.
………………4分
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB,OC,OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，A1A?AC?AC?2,又AB?BC,AB?BC,?OB?11AC?1, 2所以得:O(0,0,0),A(0,?1,0),A1(0,0,3),C(0,1,0),C1(0,2,3),B(1,0,0) 则有：A1C?(0,1,?3),AA1?(0,1,3),AB?(1,1,0).
………………6分
设平面AA1B的一个法向量为n?(x,y,z)，则有
A1zC1B1AOCyBx
??3?n?AA1?0?y?3z?0 ?，令y?1，得x??1,z?? ??3???x?y?0?n?AB?0 所以n?(?1,1,? cos?n,A1C??3). 3n?A1C|n||A1C|? ………………7分 21. 7 ………………9分
因为直线A1C与平面A1AB所成角?和向量n与A1C所成锐角互余，所以sin??21. 7
………………10分 ………………11分
（Ⅲ）设E?(x0,y0,z0),BE??BC1,
?x0?1???即(x0?1,y0,z0)??(?1,2,3)，得?y0?2?
??z0?3?所以E?(1??,2?,3?),得OE?(1??,2?,3?), 令OE//平面A1AB，得OE?n=0 ，
………………12分 ………………13分
1 即?1???2????0,得??,
2即存在这样的点E，E为BC1的中点.
18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当a??1时，f(x)?x?lnx,
………………14分
1 得f?(x)?1?,
x 令f?(x)?0，即1? ………………2分
1?0，解得x?1，所以函数f(x)在(1,??)上为增函数， x
………………4分
据此，函数f(x)在[e,e2]上为增函数，
而f(e)?e?1，f(e2)?e2?2，所以函数f(x)在[e,e2]上的值域为[e?1,e2?2]
………………6分
aa（Ⅱ）由f?(x)?1?,令f?(x)?0，得1??0,即x??a,
xx 当x?(0,?a)时，f?(x)?0，函数f(x)在(0,?a)上单调递减；
当x?(?a,??)时，f?(x)?0，函数f(x)在(?a,??)上单调递增； ……………7分 若1??a?e，即?e?a??1，易得函数f(x)在[e,e2]上为增函数，
此时，f(x)max?f(e2)，要使f(x)?e?1对x?[e,e2]恒成立，只需f(e2)?e?1即可，