全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分）

y(x?y)ln(1?)xdxdy?____________，其中区域D由直线x?y?1与两坐标轴所围1．计算??D1?x?y成三角形区域.

2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2??f(x)dx?2，则f(x)?____________.

02x23．曲面z??y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________.

24．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则

d2y

?________________. dx2

eex?e2x???enxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x?0n1f(x)三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)??f(xt)dt，且lim?A，A为常数，求g?(x)并

0x?0x讨论g?(x)在x?0处的连续性.

四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：

（1）

siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx； ??LL（2）xeL?siny5dy?ye?sinydx??2.

2x2x五、（10分）已知y1?xe?e2，y2?xe?ex?x，y3?xe?ex2x?e?x是某二阶常系数线

性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线y?ax?bx?2lnc过原点.当0?与x轴及直线x?1所围图形的面积为的体积V最小.

x?1时，y?0，又已知该抛物线

1.试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体3，且un(1)??(x)?un(x)?xn?1exn?1,2,七、（15分）已知un(x)满足une，求函数项级数n?un?1?n(x)之和.

?八、（10分）求x?1时，与

?xn等价的无穷大量.

n?0?22010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、（25分，每小题5分） （1）设xn?(1?a)(1?a2)(1?a2)，其中|a|?1,求limxn.

n??n（2）求limex???x?1??1??. ?x???e?sxxndx(n?1,2,).

022x2（3）设s?0，求In??2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求?2. 2r?x?y??（5）求直线l1:??x?y?0x?2y?1z?3与直线l2:的距离. ??4?2?1?z?0x???二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且f??(x)?0，limf?(x)???0，

x???limf?(x)???0，且存在一点x0，使得f(x0)?0.证明：方程f(x)?0在(??,??)恰有两个实

根.

?x?2t?t2d2y3(t??1)所确定，且2?三、（15分）设函数y?f(x)由参数方程?，

dx4(1?t)y??(t)?其中?(t)具有二阶导数，曲线y??(t)与y??e?udu?1t223在t?1出相切，求函数?(t). 2e四、（15分）设an?0,Sn????ak?1nk，证明：

（1）当??1时，级数?an收敛； ?Sn?1nan发散. ?n?1Sn222（2）当??1且sn??(n??)时，级数???五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中??????1)的直线，均匀椭球

x2y2z2?2?2?1（其中0?c?b?a，密度为1）绕l旋转. 2abc（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值.

六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分

2xydx??(x)dy?Lx4?y2?0的值为常数.

（1）设L为正向闭曲线(x?2)?y?1，证明

222xydx??(x)dy?Lx4?y2?0；

（2）求函数?(x)；

（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

2xydx??(x)dy?Cx4?y2.

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

?sinx?1?cosx（1）求lim?； ?x?0?x?（2）.求lim?111??1??...??； n??n?1n?2n?n??2t?d2y?x?ln?1?e?（3）已知?，求2.

tdx??y?t?arctane二、（本题10分）求方程?2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解.

三、（本题15分）设函数f(x)在x?0的某邻域内具有二阶连续导数，且f?0?,f??0?,f???0?均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得

limk1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0??0.

h?0h2x2y2z2四、（本题17分）设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0，?2:z2?x2?y2，?为?1与?2的

abc交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.

?x2?3y2?1五、（本题16分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（z?0）

z?0?（取上侧），?是S在P(x,y,z)点处的切平面，?(x,y,z)是原点到切平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余弦.计算： （1）??SzdS；（2）??z??x?3?y??z?dS

??x,y,z?S六、（本题12分）设f(x)是在(??,??)内的可微函数，且f?(x)?mf(x)，其中0?m?1，任

?取实数a0，定义an?lnf(an?1),n?1,2,...，证明：?(an?an?1)绝对收敛.

n?1七、（本题15分）是否存在区间?0,2?上的连续可微函数f(x)，满足f(0)?f(2)?1，f?(x)?1，