最新2019高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第3讲 导数及其应用学案(考试必用) 下载本文

第3讲 导数及其应用

[考情考向分析] 1.导数的意义和运算是导数应用的基础,是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.

热点一 导数的几何意义

1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同.

例1 (1)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)=x+(a-1)x+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=

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2

f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )

A.y=-2x C.y=2x 答案 D

解析 方法一 ∵f(x)=x+(a-1)x+ax, ∴f′(x)=3x+2(a-1)x+a.

又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)恒成立, 即-x+(a-1)x-ax=-x-(a-1)x-ax恒成立, ∴a=1,∴f′(x)=3x+1, ∴f′(0)=1,

∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. 故选D.

方法二 ∵f(x)=x+(a-1)x+ax为奇函数, ∴f′(x)=3x+2(a-1)x+a为偶函数, ∴a=1,即f′(x)=3x+1,∴f′(0)=1, ∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. 故选D.

(2)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+1的切线,也是曲线y=ln(x+2)的切线,则实数b=________. 答案 ln 2

解析 设直线y=kx+b与曲线y=ln x+1和曲线y=ln(x+2)的切点分别为(x1,ln x1+

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B.y=-x D.y=x

1

1),(x2,ln(x2+2)).

∵直线y=kx+b是曲线y=ln x+1的切线,也是曲线y=ln(x+2)的切线, 11∴=,即x1-x2=2. x1x2+2

1

∴切线方程为y-(ln x1+1)=(x-x1),

x1

即为y=+ln x1 或y-ln(x2+2)=

1

(x-x2), x2+2

xx1

x2-x1

即为y=++ln x1,

x1

x1

2-x1

=0,则x1=2,

x1

∴b=ln 2.

思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.

(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.

跟踪演练1 (1)(2018·全国Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为________. 答案 2x-y=0

解析 ∵y=2ln(x+1),∴y′=为2,又切线过点(0,0),

∴切线方程为y=2x,即2x-y=0.

(2)若函数f(x)=ln x(x>0)与函数g(x)=x+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是( )

2

2

.令x=0,得y′=2,由切线的几何意义得切线斜率x+1

?1?A.?ln,+∞? ?2e?

C.(1,+∞) 答案 A

B.(-1,+∞) D.(-ln 2,+∞)

解析 设公切线与函数f(x)=ln x切于点A(x1,ln x1)(x1>0), 1

则切线方程为y-ln x1=(x-x1).

x1

设公切线与函数g(x)=x+2x+a切于点B(x2,x2+2x2+a)(x2<0),

2

22

则切线方程为y-(x2+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2), 1??=2?x2+1?,∴?x1

??ln x1-1=-x22+a,1

∵x2<0

2

x1

又a=ln x1+?

?1-1?2-1

??2x1?

11?1?2

=-ln +?-2?-1,

x14?x1?

112

令t=,∴0

x1412

设h(t)=t-t-ln t(0

411?t-1?-3

则h′(t)=t-1-=<0,

2t2t∴h(t)在(0,2)上为减函数, 1

则h(t)>h(2)=-ln 2-1=ln ,

2e

2

?1?∴a∈?ln,+∞?. ?2e?

热点二 利用导数研究函数的单调性

1.f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.

2.f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性. 例2 已知函数f(x)=2e-kx-2. (1)讨论函数f(x)在(0,+∞)内的单调性;

(2)若存在正数m,对于任意的x∈(0,m),不等式|f(x)|>2x恒成立,求正实数k的取值范围.

解 (1)由题意得f′(x)=2e-k,x∈(0,+∞), 因为x>0,所以2e>2.

当k≤2时,f′(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递增. 当k>2时,由f′(x)>0得x>ln,此时f(x)单调递增;

2由f′(x)<0得0

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xxx3

kk