第三章 函数的应用

一、课程要求

本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .

1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.

2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.

3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .

4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.

二、 编写意图和教学建议

1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.

2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.

3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学

x习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示a与logax随a的不同取值而动态变化的

规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.

4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.

5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .

三、教学内容与课时的安排建议

全章教学时间约需9课时. 3.1 函数与方程 3课时 3.2函数模型及其应用 4课时 实习作业 1课时 小结 1课时

1 / 6

§3.1.1方程的根与函数的零点

一、教学目标

1． 知识与技能

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

②培养学生的观察能力． ③培养学生的抽象概括能力． 2． 过程与方法

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法． ②让学生归纳整理本节所学知识． 3． 情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

二、教学重点、难点

重点 零点的概念及存在性的判定．

难点 零点的确定．

三、学法与教学用具

1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本

节课的教学目标。 2． 教学用具：投影仪。

四、教学设想

(一)创设情景，揭示课题

1、提出问题：一元二次方程 ax+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？ 2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出）

2①方程x?2x?3?0与函数y?x?2x?3 2②方程x?2x?1?0与函数y?x?2x?1

2 ③方程x?2x?3?0与函数y?x?2x?3

2222

2

1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

（二） 互动交流 研讨新知

函数零点的概念：

2 / 6

对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点． 函数零点的意义：

函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 即：

方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 函数零点的求法： 求函数y?f(x)的零点：

①（代数法）求方程f(x)?0的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法； ②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论． 二次函数的零点：

二次函数 y?ax?bx?c(a?0)．

（１）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数f(x)?x?2x?3的图象： ① 在区间[?2,1]上有零点______；

22222f(?2)?_______，f(1)?_______, f(?2)·f(1)_____0（＜或＞＝）．

② 在区间[2,4]上有零点______；

f(2)·f(4)____0（＜或＞＝）．

3 / 6