用二分法求方程的近似解-经典例题及答案

例1：利用计算器，求方程x2?2x?1?0的一个近似解（精确到0.1）． 【解】设f(x)?x2?2x?1， 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为

f(2)??1?0,f(3)?2?0，

所以在区间(2,3)内，方程x2?2x?1?0有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为

f(2.5)?0.25?0， 所以 2?x1?2.5.

再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)??0.4375?0， 所以 2.25?x1?2.5. 如此继续下去，得

f(2)?0,f(3)?0?x1?(2,3)f(2)?0,f(2.5)?0?x1?(2,2.5)f(2.25)?0,f(2.5)?0?x1?(2.25,2.5)f(2.375)?0,f(2.5)?0?x1?(2.375,2.5)f(2.375)?0,f(2.4375)?0?x1?(2.375,2.4375)，因为2.375与2.4375精确到

0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为

x1?2.4.

利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.

点评:①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； ②建议列表样式如下： 零点所在区间中点函数区间长区间 值 度 f(2.5)?0 [2,3] 1 [2,2.5] [2.25,2.5] [2.375,2.5] f(2.25)?0 f(2.375)?0 f(2.4375)?0 0.5 0.25 0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．

例2：利用计算器，求方程lgx?3?x的近似解（精确到0.1）． 分析：分别画函数y?lgx和y?3?x 的图象，在两个

函数图象的交点处，函数值相等．因

此，这个点的横坐标就是方程lgx?3?x的解．由函数y?lgx与y?3?x的图象可以发现，方程lgx?3?x有惟一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内. 【解】设f(x)?lgx?x?3，利用计算器计算得

f(2)?0,f(3)?0?x1?(2,3)f(2.5)?0,f(3)?0?x1?(2.5,3)f(2.5)?0,f(2.75)?0?x1?(2.5,2.75)f(2.5)?0,f(2.625)?0?x1?(2.5,2.625)f(2.5625)?0,f(2.625)?0?x1?(2.5625,2.625)

因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为

x1?2.6. 思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．

除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等． 例3：利用计算器，求方程2x?x?4的近似解（精确到0.1）． 【解】方程2x?x?4 可以化为2x?4?x． 分别画函数y?2x

与y?4?x的图象，由图象可以知道，方程2x?x?4的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为x?1.4. 追踪训练一

1. 设x0是方程lnx??x?4的解，则x0所在的区间为 （ B ） A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)

2. 估算方程5x2?7x?1?0的正根所在的区间是 （ B ） A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

3．计算器求得方程5x2?7x?1?0的负根所在的区间是（ A ） A．（?1，0） B．??2,?1? C．??2.5,?2? D．??3,?2.5?