求函数值域的7类题型和16种方法

一、函数值域基本知识

1．定义：在函数y?f(x)中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则

①当函数y?f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；

②当函数y?f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y?f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y?f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域：

1.一次函数y?kx?b?k?0?的值域为R.

?4ac?b2?,???，当a?0时的值域为2.二次函数y?ax?bx?c?a?0?，当a?0时的值域为??4a?2?4ac?b2????,?.，

4a??3.反比例函数y?4.指数函数y?axk?k?0?的值域为?y?Ry?0?. x?a?0且a?1?的值域为?yy?0?.

5.对数函数y?logax?a?0且a?1?的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为??1,1?，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型

题型一：一次函数y?ax?b?a?0?的值域（最值）

1、一次函数：y?ax?b?a?0? 当其定义域为R，其值域为R；

2、一次函数y?ax?b?a?0?在区间?m,n?上的最值，只需分别求出f?m?,f?n?，并比较它们的大小即可。若区间的形式为???,n?或?m,???等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的值域（最值）

?4ac?b2y? ?a?0???4a1、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)， 当其 定义域为R时，其值域为?

2?y?4ac?b ?a?0??4a?2、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在区间?m,n?上的值域(最值) 首先判定其对称轴x??（1）若?b与区间?m,n?的位置关系 2abb??m,n?,则当a?0时，f(?)是函数的最小值，最大值为f(m),f(n)中较大者；2a2ab)是函数的最大值，最大值为f(m),f(n)中较小者。 当a?0时，f(?2a（2）若?b??m,n?,只需比较f(m),f(n)的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a特别提醒：

①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②若给定的区间形式是?a,???,???,b?,?a,???,???,b?等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

2例1：已知 f?x?2x的定义域为??3,???，则f?x?的定义域为 ???,1? 。

??例2：已知f?x?1??x2?1，且x???3,4?，则f?x?的值域为 ?1,1?7 。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数y?2、形如：y?k(k?0)的定义域为?xx?0?，值域为?yy?0? xcx?d的值域：

ax?b （1）若定义域为?x?Rx???时，其值域为?y?Ry???b?a???c?? a?（2）若x??m,n?时，我们把原函数变形为x?可求出函数的值域。

d?by，然后利用x??m,n?（即x的有界性），便

ay?c2x?3例3：函数y?的值域为

3?2x?1例4：当x???3,?1?时，函数y?1????,??3??,? ；若x??1,2?时，其值域为 ??3??1?3x的值域 2x?1?11??,? 。 ??511?x?33??fx?1? 。 （2）已知，且?4,?????2?x2??6??x???3,2?，则f?x?的值域为 ???,?? 。

5??例5：函数y?2sinx?1的值域为

3sinx?21????3? ；若??,?3,??x?,?????5???22??，其值域为 ??12? ?,? 。??23?dx2?ex?c题型四：二次分式函数y?2的值域

ax?bx?c

一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x是否存在；③分子、分母必须是既约分式。

x2?x?12??例6：y?2； ?1,???????,?

x?x?67??x2?x?2例7：y?； ?y?Ry?1? 2x?13x?33?例8：y?2； ??,?

x?4?44?x?1 x???1,???的值域 例9：求函数y?2x?2x?1解：由原函数变形、整理可得：yx2??2y?1?x?y?1?0

求原函数在区间??1,???上的值域，即求使上述方程在??1,???有实数解时系数y的取值范围 当y?0时，解得：x?1???1,??? 也就是说，y?0是原函数值域中的一个值 …① 当y?0时，上述方程要在区间??1,???上有解，

???01?即要满足f??1??0或?2y?1 解得：0?y? ……②

8??2y??1??1?综合①②得：原函数的值域为：?0,?

?8?题型五：形如y?ax?b?cx?d的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域

问题，然后求其值域。

例10： 求函数y?2x?41?x在x???8,1?时的值域 ??4,4? 题型六：分段函数的值域：

一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11： y?x?1?x?2 ?3,??? 例12： y??x?4x?1 ???,5?

2题型七：复合函数的值域

对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。 例13： y?例14：y?x?1??1?x?1? ?0,2? 2?x?5??x2?3x?4 ?0,?

?2?四、函数值域求解的十六种求法 （1）直接法（俗名分析观察法）：

有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量

x的范围出发，推出y?f(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值

域的方法。注意此法关键是定义域。

例1：已知函数y??x?1??1，x???1,0,1,2?，求函数的值域。 ??1,0,3?

2例2：求函数y?例3：求函数y?例4：求函数y?x?1的值域。 [1,??)

x?1?x?1,?x≥1?的值域。 ??2,?? x2?6x?10的值域。 ?1,???

?（2）配方法：

二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如y?ax2?bx?c?a?0?或F?x??a??f?x????bf?x??c?a?0?类的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1．求函数y?2?2x?x2?3的值域。

?(x?1)2?4，于是：

2分析与解答：因为?2x?x?3?0，即?3?x?1，y?0??(x?1)2?4?4，0?y?2。

x2?2x?41例2．求函数y?在区间x?[,4]的值域。

4x?42?x2?2x?4x??分析与解答：由y?配方得：y?x??2?????6， xxx??141?x?2时，函数y?x??2是单调减函数，所以6?y?18； 4x44当2?x?4时，函数y?x??2是单调增函数，所以6?y?7。

x11所以函数在区间x?[,4]的值域是6?y?18。

44当

（3）最值法：

对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。

解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］

例2：求函数y?2，x???2,2?的值域。 ?,4?

?4?

x2?1?

例3：求函数y??2x?5x?6的值域。 ???,2??73? 8??（4）反函数法（逆求或反求法）：

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围。对于形如

y?cx?d(a?0)的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函ax?b数的值域。

1?2x例1：求函数y?的值域。

1?2x1?y1?2xx2?解：由y?解得，

1?y1?2x∵2?0，∴

x1?y?0，∴?1?y?1 1?y1?2x∴函数y?的值域为y?(?1,1)。 x1?2（5）分离常数法：

分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数y?ax?b(c?0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为

cx?d??yy??a?，采用部分分式法将原函数化为?；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）

c?adac(ad?bc)，用复合函数法来求值域。 y??ccx?d1?x例1：求函数y?的值域。

2x?5177?(2x?5)?1?x2??1?2， 解：∵y??22x?52x?522x?571∵2?0，∴y??，

22x?51?x1∴函数y?的值域为{y|y??}。

2x?52b?（6）换元法（代数/三角）：

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如y?1的函数，令f?x??t；形如y?ax?b?cx?d(a,b,c,d均为常数,ac?0)的f?x?函数，令cx?d?t；形如含a2?x2的结构的函数，可利用三角代换，令x?acos?,???0,??，