二元函数极限证明

(三)教学建议：

(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限：limf(x)?a的“???”定义(c31)： x?x0

0设函数f(x)在x0的某一空心邻域u(x0,?1)内由定义，如果对 ???0,

当

x?u(x0,?)

，

即

|x?x0|??

时

，

都

有

|f(x)?a|??，???0,???1，

则称x?x0时，函数f(x)的极限是a.

类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数f(x,y)为定义在d?r2上的二元函数，在点p0(x0,y0)为d的一个聚点，

a是一个确定的常数，如果对???0,???0，使得当p(x,y)?u(p0,?)?d时，0都有|f(p)?a|??，则称f在d上当p?p0时，以a为极限。记作

p?p0p?dlimf(p)?a

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二元函数极限证明

也可简写为limf(p)?a或 p?p0(x,y)?(x0,y0)

2limf(x,y)?a例1用定义验证 2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|

?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1|

限制在（2，1）的邻域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1} |x?3|?6, |x?y?1|?6

取??min{1,?/6}，则有 |x?xy?y|??

由二元函数极限定义lim (x,y)?(2,1) (x?xy?y)?7 22 22 ?x?y

,(x,y)?(0,0)?xy22 例2f(x,y)??x?y， ?0,(x,y)?(0,0)?

证

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二元函数极限证明

证明lim (x,y)?(0,0) f(x,y)?0 x?yx?y 22 22

证|f(x,y)|?|xy 所以 lim (x,y)?(0,0) |?|xy| lim (x,y)?(0,0) |f(x,y)|?lim (x,y)?(0,0) |xy|?0 |f(x,y)|?0

对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点： p?p0

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二元函数极限证明

limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。 对于一元函数，x仅需沿x轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，p趋于p0的路线有无穷多条，只要有两条路线，p趋于p0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在p0点极限就不存在。

?1,0?y?x2

例1二元函数f(x,y)?? ?0,rest

请看图像（x62），尽管p(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当p(x,y)沿抛物线y?kx,0?k?1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。

(考虑沿直线y?kx的方向极限).?x2y ,?

例2设函数f(x,y)??x2?y2 ?0,?

(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) 求证limf(x,y)?0

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二元函数极限证明

x?0 y?0

证明因为|f(x,y)?0|? x|y|x?y ? x|y|x ?|y|

所以，当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)?0。

请看它的图像，不管p(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。

通常为证明极限limf(p)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两

p?p0

个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.

但应注意,沿任何方向的极限存在且相等??全面极限存在.例3 设函数

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0) ?xy ,?22 f(x,y)??x?y

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