二元函数极限证明

?0,?

证明函数f(x,y)在原点处极限不存在。 证明尽管p(x,y)沿ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线y?mx趋于原点时 x?mxx?(mx) f(x,y)?? mx 22 (1?m)x ? m1?m

沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象,例１沿任何路线趋于原点时，

极

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4

非正常极限极限 lim

(x,y)?(x0,y0)

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二元函数极限证明

判别函数f(x,y)? xy?1?1x?y

在原点是否存在极限. f(x,y)???的定义: 12x?3y

例1设函数f(x,y)?证明limf(x,y)?? x?0y?0 证| 12x?3y |?| 13(x?y) | 只要取?? 16m

|x?0|??,|y?0|??时，都有 | 12x?3y16? 22 |?| 13(x?y)

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二元函数极限证明

| ??m 12x?3y

请看它的图象，因此是无穷大量。 例2求下列极限:i) lim xyx?y 22 ;ii)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0) lim sinxyy ; iii) (x,y)?(0,0) lim xy?1?1xy ;iv) (x,y)?(0,0) lim

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二元函数极限证明

ln(1?x?y) x?y 22 .

二.累次极限:累次极限

前面讲了p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时f(x,y)的极限，称为累次极限。对于二元函数f(x,y)在p0(x0,y0)的累次极限由两个

limlimf(x,y)和limlimf(x,y) y?y0x?x0 x?x0y?y0 例1 f(x,y)? xyx?yx?yx?y 222

,求在点(0,0)的两个累次极限. 22

例2f(x,y)?,求在点(0,0)的两个累次极限. 例3f(x,y)?xs(请你支持：)in

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二元函数极限证明

1y ?ysin 1x

,求在点(0,0)的两个累次极限. 二重极限与累次极限的关系:

（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限

例函数f(x,y)? x?y?x?y x?y 22

的两个累次极限是y?yyx?xx 22 limlim x?y?x?y x?yx?y?x?y x?y y?0x?0 ?lim y?0

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时一定要注意不能随意改变它们的次序。