专题3.3 定积分

考点分析

定积分与微积分基本定理

（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；

（2）了解微积分基本定理的含义． 知识链接

1、相关术语：对于定积分（1）（2）

称为积分上下限，其中：称为被积函数

（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：

的被积函数为

2、定积分

与轴，

围成的

图

中的被积函数为

，而

的几何意义：表示函数

面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当像在

完全位于轴上方时，

才表示面积。

可表示数

与轴，掉绝对值分段求解

围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆

3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种： （1）微积分基本定理：如果

，那么

使用微积分基本定理，关键是能够找到以

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是区间

为导函数的原函数

。

上的连续函数，并且

所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：

① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：数应含，但常数）

② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如则

，但在使用微积分基本定理时，会发现

不需加上常数。

，计算时

，而

，则判断属于幂函数类型，原函，所以原函数为

（为

会消去，所以求定积分时，

（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。

4、定积分的运算性质：假设（1）

作用：求定积分时可将解，从而简化（2）

的系数放在定积分外面，不参与定积分的求

存在

的复杂程度

作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并

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求出定积分，例如（3）

，其中

作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。 5、若

具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化

定积分的计算 （1）若（2）若

为奇函数，则为偶函数，则

6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤： （1）通过作图确定所求面积的区域 （2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数（3）若

时，始终有

，则该处面积为

7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况

（1）构成曲面梯形的函数发生变化

（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。 融会贯通

题型一 定积分的计算

典例1 (1)(2017·九江模拟)若?(2x＋λ)＝2(λ∈R)，则λ等于

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