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八．设un?x??n?1,2??是[a,b]上的单调函数，证明：若?un?a?与?un?b?都
绝对收敛，则?un?x?在[a,b]上绝对且一致收敛. （本题满分9分） 证明：un?x??n?1,2??是[a,b]上的单调函数，所以有
un?x??un?a??un?b? ------------------------------4分
又由?un?a?与?un?b?都绝对收敛，
所
以
??u?a??u?b??nn 收敛，
--------------------------------------7分
由优级数判别法知：
?u?x?在[a,b]上绝对且一致收敛.--------------------------------n.
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2013 ---2014学年度第二学期
《数学分析2》A试卷
学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 核分人 得分 一. 判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)
1.若f(x)在[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上可积. ( )
2.若函数f(x)在[a,b]上有无穷多个间断点，则f(x)在[a,b]上必不可积。 （ ）
3.若???af(x)dx与?g(x)dx均收敛，则?[f(x)?g(x)]dx一定条件收
aa????敛。 （ ）
4.若?fn?x??在区间I上内闭一致收敛，则?fn?x??在区间I处处收敛（ ） 5.若?an为正项级数（an?0），且当 n?n0时有：
n?1?an?1?1 ，则级数an?an?1?n必发散。（ ）
6.若f?x?以2?为周期，且在???,??上可积，则的傅里叶系数为：
an?1??2?0f?x?cosnxdx （ ）
?? 7.若?an?s，则??an?an?1??2s?a1 （ ）
n?1n?1 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（ ） 二. 单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列广义积分中，收敛的积分是（ ）
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A
?101x?dx B ????11xdx C ?sinxdx D ?0??1dx ?1x312.级数?an收敛是?an部分和有界的（ ）
n?1n?1A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件
3.正项级数
?un收敛的充要条件是（ ）
A.limn??un?0 B.数列?un?单调有界
C. 部分和数列?sn?有上界 D.limnn?1n??u???1
n 4.设liman?1n??a?a则幂级数?anxbn?b?1?的收敛半径R=（ ）
n11 A. a B. ab C. 1?1?ba D.??a??
5. 下列命题正确的是（ ）
?A ?an(x)在[a,b]绝对收敛必一致收敛
n?1?B ?an(x)在[a,b]一致收敛必绝对收敛
n?1?C 若limn??|an(x)|?0，则?an(x)在[a,b]必绝对收敛
n?1?D ?an(x)在[a,b]条件收敛必收敛
n?16..若幂级数?anxn的收敛域为??1,1?,则幂级数?anxn在??1,1?上
.
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A. 一致收敛 B. 绝对收敛 C. 连续 D.可导
三. 求值或计算（每题4分，共16分）
1. 2.? 3．?
xx??1?lnx?dx；
1dx
sinxcosx1?1?x?x?e?xdx .
4.设f?x?在[0,1]上连续，求lim?fn??01?x?dx
n
.
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四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性. 1.?
2. ?
3.?lnnn?2???34dx2x?3x?321；
111?xln(1?x)0dx
n ； n?1
enn! 4.?n
n?1n?
.