高中数学北师大版选修4-5不等式选讲第二章《柯西不等式》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

【省级名师教案】

1教学目标

知识目标:(1)理解柯西不等式的二维形式及向量形式; (2)能运用柯西不等式的二维形式解决简单的问题。

能力目标:通过创设情境,提出问题,然后探索解决问题的办法,培养学生独立思考、积极探索的习惯,反思纠错、合情演绎的逻辑推理能力。

情感目标:激发学生的数学学习兴趣,让学生体验数学学习的成就感,帮助学生树立严谨治学的科学态度。

2学情分析

学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法,还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。学生对柯西不等式的向量形式 已经有了一定的认识,这是学生知识的“最近发展区”。

3重点难点

教学重点:会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点:理解几何意义.

4教学过程

4.1第一学时

4.1.1教学活动

活动1【讲授】柯西不等式 一、复习准备:

1. 提问: 二元均值不等式有哪几种形式? 答案:及几种变式. 2. 练习:已知a、b、c、d为实数,求证 证法:(比较法)=….=

二、讲授新课: 1. 柯西不等式:

① 提出定理1:若a、b、c、d为实数,则.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号? ② 讨论:二维形式的柯西不等式的其它证明方法? 证法二:(综合法)

. (要点:展开→配方) 证法三:(向量法)设向量,,则,. ∵ ,且,则. ∴ ….. 证法四:(函数法)设,则 ≥0恒成立. ∴ ≤0,即…..

③ 讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式? 变式: 或 或.

④ 提出定理2:设是两个向量,则.

即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 ) → 讨论:上面时候等号成立?(是零向量,或者共线) ⑤ 练习:已知a、b、c、d为实数,求证.

证法:(分析法)平方 → 应用柯西不等式 → 讨论:其几何意义?(构造三角形) 2. 教学三角不等式: ① 出示定理3:设,则.

分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式:若,则结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式? 三、应用举例:

例1:已知a,b为实数,求证

说明:在证明不等式时,联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简化运算。所以,经典不等式是数学研究的有力工具。 例题2:求函数的最大值。

分析:利用不等式解决最值问题,通常设法在不等式的一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和,若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。()

解:函数的定义域为【1,5】,且y>0 当且仅当时,等号成立,即时,函数取最大值 课堂练习:1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2 2.求函数的最大值.

例3.设a,b是正实数,a+b=1,求证

分析:注意到,有了就可以用柯西不等式了。 四、巩固练习:

1. 练习:试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、课堂小结:

二维柯西不等式的代数形式、向量形式;三角不等式的两种形式(两点、三点) 六、布置作业:P37页,4,5, 7,8,9 七、教学后记:

活动2【讲授】柯西不等式 一、复习引入:

1. 提问:二维形式的柯西不等式、三角不等式? 几何意义? 答案:;

2. 讨论:如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式,拓广到三维、四维? 3. 如何利用二维柯西不等式求函数的最大值? 要点:利用变式. 二、讲授新课: 1. 最大(小)值:

① 出示例1:求函数的最大值? 分析:如何变形? → 构造柯西不等式的形式