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关注身边的不等式

我们先来看下面几个简单的问题：

问题1 同学们在乘坐汽车，行驶在公路上的时候，会不时地看到有对汽车的限速标志，如图1，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过40km/h.用v(km/h)表示汽车的速度，怎样表示v与40之间的关系是v≤40km/h.

图1

图2

图3

40 问题2 如图2，天平左盘放3个乒乓球，右盘放5g砝码，天平倾斜.设每个乒乓球的质量为x（g），则x与5之间的关系是3x＞5.

问题3 如图3，小明与小聪玩跷跷板.大家都不用力时，跷跷板左低、右高，小明的身体质量为p（kg），小聪的身体质量为q（kg），书包的质量为2kg，则p，q之间的关系是p＜q+2.

在我们的生活既存在着许多相等的量，同时也存在许多类似于上面几个问题中的不等量，这些不等的量往往在生活中的用途远大于相等的问题，不信，我们再请看几例：

例1 某食品店只有一台不等臂的天平和一只1千克的砝码，一顾客欲买2千克糖果，售货员先将砝码置左盘，糖果置右盘，平衡后，将此次称得的糖果给顾客，再将砝码置右盘，糖果置左盘，平衡后，又将第二次称得的糖果给顾客，试问，这种称法便宜了谁？

简析 设天平两臂的长度分别为x、y（不妨令x＞y）.两次称得的糖果分别为m1、m2

千克，依力矩平衡原理可得m1·x=1·y，m2·y=1·x.即m1＝

xy，m2＝.而当x＞y时，一

yxx2?y22xyyx定有(x－y)＞0，即x+y＞2xy.从而有m1+m2＝+＝＞＝2.由此可见，售

xyxyxy2

2

2

货员两次称得的糖果多于2千克，实际情况是亏了店家便宜了顾客.

评注 通过这道题目的学习，同学们以后一定注意在市场交易中不能凭感觉处事噢！ 例2 某城市的一种出租汽车起价10元（即行驶路程在3km内需付10元车费），达到或超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km部分按1km计算）．现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少千米？

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简析 设甲地到乙地的路程大约是xkm，根据题意，列不等式，得10+1.2(x－3)≤17.2，去括号，得10+1.2x－3.6≤17.2，移项，得1.2x≤17.2－10+3.6，合并同类项，得1.2x≤10.8，系数化1，得x≤9.即从甲地到乙地的路程大约是9km.

评注 本题以出租车的费用为背景，设计了以不等式为载体的数学应用题，让同学们感受到数学就在我们的身边.

例3 小明和小刚要进行一次百米赛跑，两人来到百米起点，同时起跑，结果小明以领先3米的优势获胜，也就是说，当小明跑到百米终点时，小刚才跑了97米.小刚说：“这次不算，你本来跑得就快，这次当然你胜，如果你在离起跑线后3?米的地方起跑，我仍从起跑线开始，也就是说你比我多跑3米，这样你要赢了我，?我就心服口服了.”小明想了想，自信地说：“行！”如果两人的速度都不变，小明的自信有根据吗？他还能取胜吗？

10097＝.第二次赛跑：ab100?310031009733310097＝+，＝+.因为a＞b，所以＜.又因为＝，所以aaabbbabab1003973100?3100+＜+.即＜.这说明小明跑103米还是比小刚跑100米所用的时间aabbab简析 设小明的速度为每秒a米，小刚的速度为每秒b米，则少.因此，小明的自信是有根据的，他还能取胜.

评注 通过运用不等式从而比较出结果，这种方法在数学中经常会遇到，同学们一定要注意观察和训练.

例4 某次篮球联赛中，大海队与高山队要争夺一个出线权（获胜场数多的队出线；两队获胜场数相等时，根据它们之间的比赛结果确定出线队），大海队目前的战绩是14胜10负（其中有1场以3分之差负于高山队），后面还要比赛6场（?其中包括再与高山队比赛1场）；高山队目前的战绩是12胜13负，后面还要比赛5场.讨论：

（1）为确保出线，大海队在后面的比赛中至少要胜多少场？

（2）如果大海队在后面对高山队1场比赛中至少胜高山队4分，那么它在后面的比赛中至少胜几场就一定能出线？

（3）如果高山队在后面的比赛中3胜（包括胜大海队1场）2负，?那么大海队在后面的比赛中至少要胜几场才能确保出线？

（4）如果大海队在后面的比赛中2胜4负，未能出线，?那么高山队在后面的比赛中战果如果？

简析（1）高山队在后面的比赛中至多胜5场，所以整个比赛它至多胜17场.设大海队在后面的比赛中胜x场，为确保出线，需有14+x＞17.解得x＞3.即大海队在后面的比赛中教育配套资料K12

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至少要胜4场.（2）设大海队在后面的比赛中胜x场，则有14+1+x＞12+4.解得x＞1.即大海队在后面的比赛中至少要胜2场.（3）大海队在后面的比赛中至少要胜2场才能确保出线.（4）高山队在后面的比赛中或5胜或4胜1负（其中胜大海队1场或负于大海队1?场但分差不超过2分）.

评注 求解这样的生活中的问题，一定要正确理解题意，从中找出不等的关系，再列式求解.

下面两道题目供同学们自己练习：

1.某商品进价为1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么商店最多降多少元出售此商品？

2.一场球赛每队平均比赛18场，胜一场记3分，平1场记1分，负一场记0分，若某队负3场，那么这个队至少要胜几场，得分才会超过29分？

参考答案：

1，设商店最多降x元，依题意可得1500－1000－x≥1000×

5，解之得x≤450，故100x最大为450.

2，设这个球队胜了x场，则平了(18－x－3)场，依题可得3x+(18－x－3)+3×0＞29.解得x＞7，故至少要胜8场.

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