小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

AB①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； SS两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

abCD如右图S1:S2?a:b

12③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD?S△BCD； 反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEDC AS1图⑴ 图⑵ S4S2O三、蝶形定理

S3任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

B①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造

BCBCa模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边ADS1形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积S2S4O对应的对角线的比例关系．

S3梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

①S1:S3?a2:b2 Bb22②S1:S3:S2:S4?a:b:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?2．

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

CAEAFDDBABACFGBCAGEC

BGC

①AD?AE?DE?AF；

②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么AS?ABO:S?ACO?BD:DC．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因EF为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称

O为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，

CD它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为B三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题

【例 1】 如图，正方形

ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的面

积为 ．

_H _D_H _D_A_E

_G

_A

_E

_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33．

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘

米，那么长方形的宽为几厘米？

_ E_ A_ F

_ D

_ G

_ C _ B

_ F

_ D

_ C

_ A_ E_ B

_ G

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方

形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一

起)．

∵在正方形ABCD中，S△ABG??AB?AB边上的高， ∴S△ABG?S的一半)

1S?SEFGB． 同理，△ABG2?8?81212ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

∴正方形ABCD与长方形

)． ?10?(6厘米.面EFGB积相等． 长方形的宽