直线与圆锥曲线综合题的合理消参策略

本文通过几个经典的例题说明线与圆锥曲线综合题的合理消参策略.

x22例题1 已知椭圆C:?y?1，过A(0,1)且斜率为k的直线交椭圆C于A、B，M在椭

4圆上，且满足OM?OA?123OB.求k的值. 2解法1:

直接求解法，适合于消参后的一元二次方程的根比较好解的情况，注意利用乘法公式化简 过A(0,1)且斜率为k的直线为y?kx?1，代入椭圆方程中，消去y并整理得:

8k，注意到A(0,1)，

1?4k28k8k28k1?4k2,??1)，即B(?,). 可得B(?1?4k21?4k21?4k21?4k2(1?4k2)x2?8k?0，解得x1?0，x2??138k1?4k2(?,)， 设M(x,y)，则(x,y)=(0,1)?221?4k21?4k243k1?3?4(1?3)k2∴x??，y?，

2(1?4k2)1?4k2143k21?3?4(1?3)k22x22)?()?1， ?y?1，∴(?又∵2241?4k2(1?4k)422222去分母得: 48k?[1?3?4(1?3)k]?4(1?4k)，

4展开整理得: k?11，∴k??. 162解法2: 利用一元二次的方程的根与系数关系，注意利用整体代入.

过A(0,1)且斜率为k的直线为y?kx?1，代入椭圆方程中，消去y并整理得:

(1?4k2)x2?8k?0，

设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，则(x,y)?(x1,y1)?123(x2,y2)， 21313x2x2，y?y1?y2，又∵?y2?1， ∴x?x1?22224∴(x1?114232132x2)?(y1?y2)?1， 222314433x1x2?y1y2?1， 821

2222整理得: (x1?y1)?(x2?y2)?1144

注意到

3312122x1x2?y1y2?0，即x1x2?4y1y2?0. x1?y12?x2?y2?1，于是上式化为8244又x1x2?0，x1?x2??8k， 21?4k∴y1y2?(kx1?1)(kx2?1)?k2x1x2?k(x1?x2)?1?k(x1?x2)?1， ∴k(?18k12k?)?1?0k??，∴，∴.

41?4k22解法3:

转化结论，间接求解，就是求出直线上两个点的坐标即可，一般不用此法，但对于本题，却是非常简单，就是充分利用题目的特殊性.

设B(x,y)，又A(0,1)，于是OM?OA?12313OB，即OM?(0,1)?(x,y)， 222313313x2x,?y)，又B(x,y)，M(x,?y)在椭圆C:?y2?1上，于是 ∴M(2222224

??x2x233232?y?1,??y?(1),????44444即? ?131313333?(x)2?(?y)2?1,??x2?y2?y?(2),??22?42424?44(1)?(2)消去x2、y2得: y?0，

∴x??2.即B(?2,0)，又A(0,1)， ∴k??．

12x2y2 例题2 双曲线C与椭圆??1有相同的焦点，直线y?3x为C的一条渐近线.

84(1)求双曲线C的方程.

(2)过点P(0,4)的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.

当PQ??1QA??2QB，且?1??2??时，求Q点的坐标.

83x2y2解:(1)设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0).

abb由题意: a2?b2?8?4?4，?3，∴a?1，b?3.

ay22∴双曲线C的方程为x??1.

3

2

(2) 解法一：构造关于参数的一元二次方程 由题意知直线l的斜率k存在且不为零.

设直线l的方程为:y?kx?4，则可求Q(?,0). 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

∵PQ??1QA， PQ?(?,?4)，QA?(x1?,y1)，

4k4k4k41?x??(?1),44??1k?1???(x?),??11∴ ?k k ∴ ?4?y??????4??1y1.1??1?y2 ∵ A(x1,y1))在双曲线C:x??1上，

32∴

161162(?1)??1， k2?13?12162k?0. 316同理有: (16?k2)?22?32?2?16?k2?0

3∴ (16?k2)?12?32?1?16?若16?k2?0，则k??4， l过顶点，不合题意， ∴16?k2?0， ∴?1，?2是一元二次方程(16?k2)x2?32x?16?∴ ?1??2?162k?0的两个根， 3328??，∴k2?4，验知??0， ∴k??2，

k2?163∴ 所求Q点的坐标是(?2,0).

仔细分析上面的解法，我们发现本题中涉及7个未知数，它们是:

x1,y1,x2,y2,?1,?2,k.

上面的解法先把x1,y1,?1,k作为一组，构建关于?1的一元二次方程，再把x2,y2,?2,k作为一组，构建关于?2的一元二次方程，由于这两个运算过程完全相同， 两个一元二次方程也完全相同，因此?1，?2是同一个一元二次方程的两个根，然后就可以利用一元二次方程的根与系数的关系了.

解法二：利用根与系数的关系

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