《绝对值》典型例题

例1

求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．

71?，?，0，－1.2 89分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出?解 ?7711?,??,0?0,?1.2?1.2. 88997其他数的比较就容易了． ??1.2，

8?17?0????1.2. 98说明： 利用绝对值只是比较两个负数． 例2

求下列各数的绝对值：

（1）－38；（2）0.15；（3）a(a?0)；（4）3b(b?0)； （5）a?2(a?2)；（6）a?b．

分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论．

解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15； （3）∵a＜0，∴|a|＝－a； （4）∵b＞0，∴3b＞0，|3b|＝3b；

（5）∵a＜2，∴a-2＜0，|a-2|＝-(a-2)＝2-a；

?a?b(a?b);? （6）a?b??0(a?b);

?b?a(a?b).? 说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．

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例3

一个数的绝对值是6，求这个数．

分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是?6． 说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．

例4 计算下列各式的值

（1）?35??21??27；（2）?3441???3； 552（3）?49??211；（4）?0.75??1. 72分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算． 解 （1）?35??21??27?35?21?27?83； （2）?34414411???3?3??3?6； 552552211?49?2?105； 7711?0.75?1?0.5. 22（3）?49??2（4）?0.75??1说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题． 例5 已知数a的绝对值大于a，则在数轴上表示数a的点应在原点的哪侧？

分析 确定表示a的点在原点的哪侧，其关键是确定a是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定a是负数．

解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以a是负数，故表示数a的点应在原点的左侧．

说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值． 例6 判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)： （1）?a?a；（ ） （2）?a??a；（ ）

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（3）

aa?a（ ） (a?0)；

a（4）若|a|＝|b|，则a＝b；（ ） （5）若a＝b，则|a|＝|b|；（ ）

分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a＝1，则-|a|＝-|1|＝-1，而|-a|＝|-1|＝1，所以-|a|≠|-a|．在第(4)小题中取a＝5，b＝-5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：

当a?0时，

aaa?aaa?1，而??1，?aaaaa?a成立； aaa?a也成立． a?aaa??1，而???1，?当a?0时，?a?aaa这说明a?0时，总有成立．此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可．

解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的．

说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．

例7 若2x?1?y?5?0，则2x?y等于（ ）．

分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则2x?1?0；y?5?0．

1?1?2x?1?0，x??；y?5?0，y?5．故2x?y?2?????5?4．

2?2? 说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上

的对应点到原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0．

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