§3 高斯公式与斯托克斯公式

教学目的：

掌握高斯公式和斯托克斯公式． 教学重点：

应用高斯公式和斯托克斯公式计算. 教学难点：

斯托克斯公式. 教学过程 一、 高斯公式

定理22．3 设有空间区域V由分片光滑的双侧闭曲面S围成．若函数P,Q,R在V上连续，且具有一阶连续偏导数，则

??P?Q?R???????x??y??z??dxdydz??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy?V?=S，

其中S取外侧．称为高斯公式.

证 只证

?Rdxdydz????zV=

??R?x,y,z?dxdyS.

类似可证

?Pdxdydz????xV?Qdxdydz????yV=

??P?x,y,z?dydzS和

=

??Q?x,y,z?dzdxS.

这些结果相加便得到了高斯公式．

先V设是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面

S2：z?z2?x,y?,?x,y??Dxy，S1：z?z1?x,y?,?x,y??Dxy， 及垂直于方法有

?Rdxdydz????zV2z2?x,y?Dxy的边界的柱面S3组成其中z1?x,y??z2?x,y?．于是按三重积分的计算

=Dxy??dxdy?Rdz??zz1?x,y?1

=Dxy???R?x,y,z?x,y???R?x,y,z?x,y???dxdy

=Dxy??R?x,y,z?x,y??dxdy???R?x,y,z?x,y??dxdy21DxyS1

=S2=S2??R?x,y,z?dxdy???R?x,y,z?dxdy??R?x,y,z?dxdy???R?x,y,z?dxdy?S1

其中S1,S2都取上侧．又由于S3在xy平面上投影区域的面积为零，所以

??R?x,y,z?dxdy?0S3，

因此

?Rdxdydz????zV=S2??R?x,y,z?dxdy???R?x,y,z?dxdy??R?x,y,z?dxdy?S1+S3

=

??R?x,y,z?dxdyS

对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论．详细的推导与格林相似．

例1 计算

22??yx?zdydz?xdzdy?y?xzdxdy??S??,其中S是边长为a的正立方

体表面并取外侧．

解 应用高斯公式，所求曲面积分等于

????2?2????yx?z?x?y?xz??x?dxdydz????y?z?V?

??a??=

????y?x?dxdydz?dz?dy??y?x?dxVaa=0001??a??ay?a2?dy?a42?=0?.

a二、斯托克斯公式

双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向的规定：右手法则．

定理22.4 设光滑曲面S的边界L是按块光滑的连续曲线．若函数P,Q,R在

S（连同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则

??R?Q???Q?P???P?R?????dydz??dzdx???????y?z???x??y??dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?z?x?????S?=L（2）

其中S的侧与L的方向按右手法则确定．

证明 先证

?P?Pdzdx?dxdy???z?yS=L?Pdx， （3）

??zx,?zy,?1?，方向余

其中曲面S由方程z?z?x,y?确定，它的正侧法线方向数为

弦为?cos?,cos?,cos??，所以

?zcos??zcos??????xcos?，?ycos?，

若S在平面上投影区域为的定义及格林公式有

Dxy，L在平面上的投影曲线为?．现由第二型曲线积分

??P?x,y,z?x,y??dxdyP?x,y,z?dx?P?x,y,z?x,y??dx????yL=?=Dxy. ??P?P?z?P?x,y,z?x,y??因为?y=?y?z?y，所以

?????P?P?z?P?x,y,z?x,y??dxdy???????y??z?y??dxdy?yDxy?=S?.

?zcos???cos?，从而 由于?y??P?P?z???P?Pcos?????????dxdy?????y??zcos???dxdy??y?z?y???S?=S?

??P?dxdy?P?????cos??cos???y?cos??z??S= ??P??P?????cos??cos?dS??y??z? =S??P?Pdzdx?dxdy???z?yS=.

综合上述结果，便得所要证明的（3）式．

同样对于曲面S表示为x?x?y,z?和y?y?z,x?时，可证得