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§3 高斯公式与斯托克斯公式

教学目的:

掌握高斯公式和斯托克斯公式. 教学重点:

应用高斯公式和斯托克斯公式计算. 教学难点:

斯托克斯公式. 教学过程 一、 高斯公式

定理22.3 设有空间区域V由分片光滑的双侧闭曲面S围成.若函数P,Q,R在V上连续,且具有一阶连续偏导数,则

??P?Q?R???????x??y??z??dxdydz??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy?V?=S,

其中S取外侧.称为高斯公式.

证 只证

?Rdxdydz????zV=

??R?x,y,z?dxdyS.

类似可证

?Pdxdydz????xV?Qdxdydz????yV=

??P?x,y,z?dydzS和

=

??Q?x,y,z?dzdxS.

这些结果相加便得到了高斯公式.

先V设是一个xy型区域,即其边界曲面S由曲面

S2:z?z2?x,y?,?x,y??Dxy,S1:z?z1?x,y?,?x,y??Dxy, 及垂直于方法有

?Rdxdydz????zV2z2?x,y?Dxy的边界的柱面S3组成其中z1?x,y??z2?x,y?.于是按三重积分的计算

=Dxy??dxdy?Rdz??zz1?x,y?1

=Dxy???R?x,y,z?x,y???R?x,y,z?x,y???dxdy

=Dxy??R?x,y,z?x,y??dxdy???R?x,y,z?x,y??dxdy21DxyS1

=S2=S2??R?x,y,z?dxdy???R?x,y,z?dxdy??R?x,y,z?dxdy???R?x,y,z?dxdy?S1

其中S1,S2都取上侧.又由于S3在xy平面上投影区域的面积为零,所以

??R?x,y,z?dxdy?0S3,

因此

?Rdxdydz????zV=S2??R?x,y,z?dxdy???R?x,y,z?dxdy??R?x,y,z?dxdy?S1+S3

=

??R?x,y,z?dxdyS

对于不是xy型区域的情形,则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论.详细的推导与格林相似.

例1 计算

22??yx?zdydz?xdzdy?y?xzdxdy??S??,其中S是边长为a的正立方

体表面并取外侧.

解 应用高斯公式,所求曲面积分等于

????2?2????yx?z?x?y?xz??x?dxdydz????y?z?V?

??a??=

????y?x?dxdydz?dz?dy??y?x?dxVaa=0001??a??ay?a2?dy?a42?=0?.

a二、斯托克斯公式

双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向的规定:右手法则.

定理22.4 设光滑曲面S的边界L是按块光滑的连续曲线.若函数P,Q,R在

S(连同L)上连续,且有一阶连续偏导数,则

??R?Q???Q?P???P?R?????dydz??dzdx???????y?z???x??y??dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?z?x?????S?=L(2)

其中S的侧与L的方向按右手法则确定.

证明 先证

?P?Pdzdx?dxdy???z?yS=L?Pdx, (3)

??zx,?zy,?1?,方向余

其中曲面S由方程z?z?x,y?确定,它的正侧法线方向数为

弦为?cos?,cos?,cos??,所以

?zcos??zcos??????xcos?,?ycos?,

若S在平面上投影区域为的定义及格林公式有

Dxy,L在平面上的投影曲线为?.现由第二型曲线积分

??P?x,y,z?x,y??dxdyP?x,y,z?dx?P?x,y,z?x,y??dx????yL=?=Dxy. ??P?P?z?P?x,y,z?x,y??因为?y=?y?z?y,所以

?????P?P?z?P?x,y,z?x,y??dxdy???????y??z?y??dxdy?yDxy?=S?.

?zcos???cos?,从而 由于?y??P?P?z???P?Pcos?????????dxdy?????y??zcos???dxdy??y?z?y???S?=S?

??P?dxdy?P?????cos??cos???y?cos??z??S= ??P??P?????cos??cos?dS??y??z? =S??P?Pdzdx?dxdy???z?yS=.

综合上述结果,便得所要证明的(3)式.

同样对于曲面S表示为x?x?y,z?和y?y?z,x?时,可证得