第八节正弦定理和余弦定理的应用

[知识能否忆起]

1．实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角：

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．

(2)方位角：

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：

相对于某一正方向的水平角(如图3)

①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．

(4)坡度：

①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)． ②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)． 2．解三角形应用题的一般步骤

(1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； (3)选择正弦定理或余弦定理求解；

(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．

[小题能否全取]

1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是( ) A．α>β C．α＋β＝90°

B．α＝β

D．α＋β＝180°

答案：B

2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( ) A．北偏东15° C．北偏东10°

B．北偏西15° D．北偏西10°

解析：选B 如图所示， ∠ACB＝90°， 又AC＝BC， ∴∠CBA＝45°， 而β＝30°，

∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A在点B的北偏西15°.

3.(教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的

A．502 m C．252 m

B．503 m 252

D. m

2

的同侧，选定一点C，距离为( )

解析：选A 由正弦定理得

2

50×

2AC·sin ∠ACB

AB＝＝＝502(m)．

sin B1

2

4．(2018·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．

解析：如图所示，由题意知∠C＝45°， AC2

由正弦定理得＝，

sin 60°sin 45°∴AC＝

222·

3

＝6. 2

答案：6

5．(2018·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里．

解析：如图，由题意知在△ABC中，∠ACB＝75°－60°＝15°，B＝8.

在Rt△AOC中，OC＝AC·sin 30°＝4. 4

∴这艘船每小时航行＝8海里．

12答案：8

15°，∴AC＝AB＝

解三角形应用题常有以下两种情形

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，

先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

测量距离问题

典题导入

[例1] 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.

(1)求AB的长度；

(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)． [自主解答] (1)在△ABC中，由余弦定理得 AC＋BC－AB8＋5－ABcos C＝＝，①

2AC·BC2×8×5在△ABD中，由余弦定理得

AD＋BD－AB7＋7－AB

cos D＝＝，②

2AD·BD2×7×7由∠C＝∠D得cos C＝cos D. 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下：

11

易知S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C，

22因为AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D， 所以S△ABD>S△ABC.

故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．

若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？ 解：因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形， ∠D＝60°，∠C＝60°.

2

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门欲在该地上建造△ABC、△ABD，经