d2r?t?dr?t??3t?3?2r(t)?4eu(t) 2-1 已知系统的微分方程为2dtdt且初始条件为r(0?)?3, r?(0?)?4, 求系统的完全响应、自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应。

【解】：（一）自由响应rh(t) ，即齐次解，可以按照如下方法求得：

d2r?t?dr?t?令?3?2r(t)?0，

dt2dt特征方程为：?2?3??2?0 ，特征根：?1??1 ，?2??2，特征模式为e?t，e?2t，于

?t是rh(t)?Ae?A2e?2t 1（二）强迫响应rp(t)，即特解，可以按照如下方法求得（参见表2-3）： 因为原方程中的强迫项为4e?3tu(t)，所以rp(t)?Be（三）完全解r(t) ，可以按照如下方法求得：

?t?2t?3t r(t)?rh(t)?rp(t)?Ae?Ae?2e12?3t，将此特解代入原方程，得到B?2

由于完全解通常是在t?0 的条件下求得，因此需要知道初始条件r(0?) ，r?(0?) 。 观察原方程可以看出，方程的右边不含冲激函数?(t) ，且在t?0 附近有界，于是在t?0 附近r??(t) 有界，r?(t) 连续，r(t) 连续，因此

r(0?)?r(0?)?3， r?(0?)?r?(0?)?4

根据以上初始条件，可以解出完全解r(t)中的常数A1?12, A2??11 ，故

r(t)?12e?t?11e?2t?2e?3t

（四）零输入响应rzi(t)

d2r?t?dr?t?令?3?2r(t)?0，按照步骤（一）同样的方法可以得到：

dt2dtrzi(t)?C1e?t?C2e?2t，

由于输入信号为零，系统没有外部输入信号的激励作用，只在系统内部储能的作用下，按照系统固有的特征模式（e和e

?t?2t）运动，此时系统保持连续平稳的运动状态，初始条件不

1

?(0?)?rzi?(0?)?4 ，将它们代入rzi(t) 的表达会产生跃变，因此rzi(0?)?rzi(0?)?3， rzi式，得到C1?10, C2??7，故

rzi(t)?10e?t?7e?2t

（五）零状态相应rzs(t) 此时的微分方程可以写成

d2rzs?t?drzs?t??3?2rzs(t)?4e?3tu(t) 2dtdt?(0?)?0。 初始条件为rzs(0?)?0, rzs根据完全解的表达式可以得到

rzs(t)?D1e?t?D2e?2t?2e?3t

?(0?)?rzs?(0?)?0，将它用步骤（三）同样的分析方法可以知道rzs(0?)?rzs(0?)?0，rzs们代入rzs(t) 的表达式，得到D1?2, D2??4，故

rzs(t)?2e?t?4e?2t?2e?3t

2-2 求系统 r?(t)?2r(t)?3e(t)的冲激响应。 【解】：方法一：时域经典法 令e(t)??(t) ，系统方程变为

r?(t)?2r(t)?3?(t)，

由于冲激响应是一种零状态响应，初始条件为r(0?)?0 ，因此，需要考虑从0?到0?状态的跳变问题，以求得r(0?)。根据冲激函数平衡法，观察方程两边可以知道，r?(t) 中含有?(t) ，r(t) 中不含?(t)，故r(t)在t?0 附近有界，即|r(t)|?M（M是某个正实数），

?0?0?rtd()t??rt|()d|t0?0?Mdt??0?0?0? ，

对系统方程两边从0?到0?积分

?

0?0?r?(t)dt ??2r(t)dt??3?(t)dt

0?0?0?0??r(0?)?r(0?)??0?3

2

r(0?)?3

于是，我们可以写出t?0 时的系统微分方程和初始条件：

r?(t)?2r(t)?0，r(0?)?3

这是一个齐次方程。至此，求解冲激响应的问题就转化为当t?0时求解齐次方程的问题。解此方程，得到：r(t)?Ae?2t（t?0） ，代入初始条件得到A?3 ，因此，该系统的冲激响应为

h(t)?3e?2tu(t)

h(t) 中乘上u(t)是为了含摄t?0的条件。

方法二：冲激函数系数匹配法（参见教材2.6节例2-9）

观察系统方程 r?(t)?2r(t)?3?(t)可以知道，r(t) 中不含冲激函数?(t)，于是r(t) 中只含有系统固有的特征运动模式e?2t （特征方程为??2?0 ，特征根为???2 ），因此

r(t)?Ae?2tu(t)（特征模式e?2t乘上u(t)是为了含摄t?0的条件） ， r?(t)??2Ae?2tu(t)?Ae?2t?(t)??2Ae?2tu(t)?A?(t)

将r(t) 和r?(t)代入系统方程，

?2Ae?2tu(t)?A?(t)?2Ae?2tu(t)?3?(t)

注意上面的式子中，特征模式e?2t的系数自动平衡，这是由特征方程??2?0所保证的。

比较?(t) 的系数，可以得到A?3 ，故

r(t)?3e?2tu(t)

或者写作h(t)?3eu(t)

2-3 如图2-3所示电路，激励信号为e(t)，求当e(t)??(t)和e(t)?u(t)时的响应信号vL(t)。

?2t

3

图2-3

【解】vL(t)?Ldi(t)1t ，i(t)??vL(t)dt ， dtL??根据基尔霍夫电压定律，列出方程

vL(t)?vR(t)?e(t)

RtvL(t)??vL(t)dt?e(t)

L??两边对t求导，得到

dvL(t)Rde(t)?vL(t)? dtLdt当e(t)??(t) 时，系统方程变为

dvL(t)Rd?(t)?vL(t)? dtLdt根据冲激函数平衡法（参见教材2.6节例2-9），可以知道vL(t) 中含有?(t)，再加上系统固有的特征运动模式eR?tL ，于是系统的冲激响应具有如下形式

vL(t)?A?(t)?BeR?tLu(t)

Rt?ttdvL(t)d?(t)BR?Rd?(t)BR?RLLL?A?eu(t)?Be?(t)?A?eu(t)?B?(t)， dtdtLdtL将vL(t)和

dvL(t)d?(t)R代入系统方程，比较和?(t)的系数，得到A?1 ，B?? ，故 dtLdttR?RvL(t)??(t)?eLu(t)

LtR?RL或者写作h(t)??(t)?eu(t)

L类似地，当e(t)?u(t)时，可以求得系统的阶跃响应g(t)?e可以验证冲激响应是阶跃响应的导数h(t)?

R?tLu(t)

dg(t) dt2-4 一个系统的冲激响应为h(t)??(t)?eu(t)，激励信号为e(t)?tu(t)，试求系统的零状态响应rzs(t)?e(t)?h(t)。

【解】：这是一个求卷积的问题，首先注意到f(t)??(t)?f(t)对于任意函数f(t) 均成立（参见教材第77页（2-71）式），于是

4

?trzs(t)?e(t)?h(t)?t??tu(t)?*???(t)?eu(t)???t??tu(t)?*?(t)??tu(t)?*?e?u(t)???tu(t)???u(?)e?(t??)u(t??)d???t??tu(t)???e?(t??)d??u(t)???0?t?tu(t)?e?t???e?d??u(t)?0????

???tu(t)?e?t?(??1)e??u(t)0t?(2t?1?e?t)u(t)其中第4个等式中的积分的上下限由u(?)u(t??) 给出，只有当0???t 时，被积函数才不为零，因此积分下限为0，积分上限为t，而且t>0，故整个积分的外面要乘上u(t)。

2-5试求图2-5所示两信号的卷积，并画出波形。

图2-5

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