2021年高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题三数列第1讲等差数列与等比数列练习11 下载本文

第1讲 等差数列与等比数列

「考情研析」 1.从具体内容上,主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明. 2.从高考特点上,难度以中、低档题为主,近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题,分值分别为5分和12分.

核心知识回顾

1.等差数列

01an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d. (1)通项公式:□022an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2). (2)等差中项公式:□

03Sn=n?a1+an?=na1+n?n-1?d. (3)前n项和公式:□

222.等比数列

01an=a1qn-1=amqn-m. (1)等比数列的通项公式:□*02a2

(2)等比中项公式:□n=an-1·an+1(n∈N,n≥2).

(3)等比数列的前n项和公式:

na1?q=1?,??03□Sn=?a1-anqa1?1-qn?

=?q≠1??1-q?1-q

.

3.等差数列的性质(n,m,l,k,p均为正整数)

01am+an=al+ak(反之不一定成立);02(1)若m+n=l+k,则□特别地,当m+n=2p时,有□am+an=2ap.

03等差数列. (2)若{an},{bn}是等差数列,则{kan+tbn}(k,t是非零常数)是□04S2m-Sm,□05S3m-S2m,…仍是等差数列. (3)等差数列“依次每m项的和”即Sm,□06nd,S奇=□07an,项数为2n-1时,S奇

(4)等差数列{an},当项数为2n时,S偶-S奇=□S偶an+1

08a中=□09an,S2n-1=(2n-1)an且S奇=□10n.(其中S偶表示所有的偶数项之和,S奇表-S偶=□S偶n-1示所有的奇数项之和)

4.等比数列的性质(n,m,l,k,p均为正整数)

01am·an=al·ak(反之不一定成立);02(1)若m+n=l+k,则□特别地,当m+n=2p时,有□am·an=a2p.

(2)当n为偶数时,数项之和)

04S2m-Sm,□05S3m-S2m,…(Sm≠0)成等比数列. (3)等比数列“依次m项的和”,即Sm,□

- 1 -

S偶03=□q(公比).(其中S偶表示所有的偶数项之和,S奇表示所有的奇S奇

热点考向探究

考向1 等差数列、等比数列的运算

例1 (1)(2019·陕西榆林高考第三次模拟)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,且满足若a3+S5=12,a4+S7=24,则a5+S9=( )

A.24 C.40 答案 C

解析 ∵a3+S5=6a3=12,a4+S7=8a4=24,∴a3=2,a4=3,∴a5=4,∴a5+S9=10a5

=40.故选C.

(2)在等差数列{an}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{an}的前5项的和为( )

A.15 C.25 答案 D

解析 设公差为d,∵a3为a2,a6的等比中项,∴a3=a2·a6,即(a4-d)=(a4-2d)(a4+2d),∴5d(d-2)=0,∴d=0或d=2.∴5-d=5或3,即a3=5或3,∴S5=5a3=25或15.故选D.

(3)已知正项数列{an}满足an+1-6an=an+1an,若a1=2,则数列{an}的前n项和为________. 答案 3-1

解析 ∵an+1-6an=an+1an,∴(an+1-3an)(an+1+2an)=0,∵an>0,∴an+1=3an,∴{an}为等比数列,且首项为2,公比为3,∴Sn=3-1.

n2

2

2

2

2

2

B.32 D.72

B.20 D.15或25

n

利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式,能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素,其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量,解题中首先要注意求解最基本的量.

1.在各项为正数的等比数列{an}中,S2=9,S3=21,则a5+a6=( ) A.144 C.169 答案 A

??a1+a2=9,解析 由题意可知,?

?a1+a2+a3=21,?

B.121 D.148

- 2 -

??a1?1+q?=9,即?2

?a1?1+q+q?=21,?

??q=2,

解得?

?a1=3?

2??q=-,

3或???a1=27

(舍去).∴a5+a6=a1q(1+q)

4

=144.故选A.

2.(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,五等人与六等人所得黄金数之和为( )

1

A. 37C. 3答案 C

解析 设an为第n等人的得金数,则{an}为等差数列,由题设可知a1+a2+a3=4,a8+a9

47

+a10=3,故a2=,a9=1,而a5+a6=a2+a9=.故选C.

33

3.(2019·安徽太和第一中学高一调研)定义:在数列{an}中,若满足

7

B.

66 D.

7

an+2an+1*

-=d(n∈N,an+1ana2022

d为常数),称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中,a1=a2=1,a3=3,则

a2020

=( )

A.4×2020-1 C.4×2022-1 答案 A

解析 ∵a1=a2=1,a3=3,∴-=2,∴?∴

22

B.4×2019-1 D.4×2019

2

2

a3a2a2a1

?an+1?

?是以1为首项,2为公差的等差数列,an??

an+1

=2n-1, an∴

a2022a2022a20212

=·=(2×2021-1)×(2×2020-1)=4×2020-1.故选A. a2020a2021a2020

考向2 等差数列、等比数列的判定与证明

2Sn*

例2 已知数列{an}中,a1=1,其前n项的和为Sn,且满足an=(n≥2,n∈N).

2Sn-1

?1?

(1)求证:数列??是等差数列;

?Sn?

2

11111

(2)证明:S1+S2+S3+…+Sn<. 3572n+12

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