第1讲 等差数列与等比数列

「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分.

核心知识回顾

1.等差数列

01an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. (1)通项公式：□022an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． (2)等差中项公式：□

03Sn＝n?a1＋an?＝na1＋n?n－1?d. (3)前n项和公式：□

222．等比数列

01an＝a1qn－1＝amqn－m. (1)等比数列的通项公式：□*02a2

(2)等比中项公式：□n＝an－1·an＋1(n∈N，n≥2)．

(3)等比数列的前n项和公式：

na1?q＝1?，??03□Sn＝?a1－anqa1?1－qn?

＝?q≠1??1－q?1－q

.

3．等差数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)

01am＋an＝al＋ak(反之不一定成立)；02(1)若m＋n＝l＋k，则□特别地，当m＋n＝2p时，有□am＋an＝2ap.

03等差数列． (2)若{an}，{bn}是等差数列，则{kan＋tbn}(k，t是非零常数)是□04S2m－Sm，□05S3m－S2m，…仍是等差数列． (3)等差数列“依次每m项的和”即Sm，□06nd，S奇＝□07an，项数为2n－1时，S奇

(4)等差数列{an}，当项数为2n时，S偶－S奇＝□S偶an＋1

08a中＝□09an，S2n－1＝(2n－1)an且S奇＝□10n.(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表－S偶＝□S偶n－1示所有的奇数项之和)

4．等比数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)

01am·an＝al·ak(反之不一定成立)；02(1)若m＋n＝l＋k，则□特别地，当m＋n＝2p时，有□am·an＝a2p.

(2)当n为偶数时，数项之和)

04S2m－Sm，□05S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列． (3)等比数列“依次m项的和”，即Sm，□

- 1 -

S偶03＝□q(公比)．(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇S奇

热点考向探究

考向1 等差数列、等比数列的运算

例1 (1)(2019·陕西榆林高考第三次模拟)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且满足若a3＋S5＝12，a4＋S7＝24，则a5＋S9＝( )

A．24 C．40 答案 C

解析 ∵a3＋S5＝6a3＝12，a4＋S7＝8a4＝24，∴a3＝2，a4＝3，∴a5＝4，∴a5＋S9＝10a5

＝40.故选C.

(2)在等差数列{an}中，已知a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前5项的和为( )

A．15 C．25 答案 D

解析 设公差为d，∵a3为a2，a6的等比中项，∴a3＝a2·a6，即(a4－d)＝(a4－2d)(a4＋2d)，∴5d(d－2)＝0，∴d＝0或d＝2.∴5－d＝5或3，即a3＝5或3，∴S5＝5a3＝25或15.故选D.

(3)已知正项数列{an}满足an＋1－6an＝an＋1an，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________． 答案 3－1

解析 ∵an＋1－6an＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，且首项为2，公比为3，∴Sn＝3－1.

n2

2

2

2

2

2

B．32 D．72

B．20 D．15或25

n

利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．

1．在各项为正数的等比数列{an}中，S2＝9，S3＝21，则a5＋a6＝( ) A．144 C．169 答案 A

??a1＋a2＝9，解析 由题意可知，?

?a1＋a2＋a3＝21，?

B．121 D．148

- 2 -

??a1?1＋q?＝9，即?2

?a1?1＋q＋q?＝21，?

??q＝2，

解得?

?a1＝3?

2??q＝－，

3或???a1＝27

(舍去)．∴a5＋a6＝a1q(1＋q)

4

＝144.故选A.

2．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为( )

1

A. 37C. 3答案 C

解析 设an为第n等人的得金数，则{an}为等差数列，由题设可知a1＋a2＋a3＝4，a8＋a9

47

＋a10＝3，故a2＝，a9＝1，而a5＋a6＝a2＋a9＝.故选C.

33

3．(2019·安徽太和第一中学高一调研)定义：在数列{an}中，若满足

7

B.

66 D.

7

an＋2an＋1*

－＝d(n∈N，an＋1ana2022

d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则

a2020

＝( )

A．4×2020－1 C．4×2022－1 答案 A

解析 ∵a1＝a2＝1，a3＝3，∴－＝2，∴?∴

22

B．4×2019－1 D．4×2019

2

2

a3a2a2a1

?an＋1?

?是以1为首项，2为公差的等差数列，an??

an＋1

＝2n－1， an∴

a2022a2022a20212

＝·＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×2020－1.故选A. a2020a2021a2020

考向2 等差数列、等比数列的判定与证明

2Sn*

例2 已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2，n∈N)．

2Sn－1

?1?

(1)求证：数列??是等差数列；

?Sn?

2

11111

(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn<. 3572n＋12

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