《有限元》讲义

第2章 弹性力学平面问题有限单元法

2.1 三角形单元(triangular Element)

三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:

①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵

设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。

在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)

?d?e?ui????vi??d?i??uj?????????dj??vj????u??dm??m???vm???F?e?X????Yi??F?i??Xj?????????Fj? (2-1-1)?Yj??F??X??m??m???Ym??i

二、单元位移函数和形状函数

前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构

造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(ui ,vi ,…um vm )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:

u?u(x,y)????x??y

123 v?v(x,y)??4??5x??6y (2-1-2)a

式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)

1

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确定。将3个结点坐标(xi,yi ),(xj,yj ),(xm,ym )代入上式得如下两组线性方程:

u??2xi?3yi

i1 uj????xj??yj (a)

123 um??2xm?3ym

1和

v??5xi?6yi

i4 vj????xj??yj (b)

546 vm??5xm?6ym

4利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数?1 、?2 、

?????????????3 :

?1?A1A ?2?A2A ?3?A3A

式中行列式:

1uiyiuixiyi

A?ujxjyjA2?1ujyj1umxmym1umym1xiuiA3?1xjuj1xmum

1xiyi A?1xjyj?2A1xmym

A为△ijm的面积,只要A不为0,则可由上式解出:

1(au?au?au) ?mmjj12Aii ??1(bu?bu?bmum) （C）

jj22Aii1(cu?cu?cu)

?3?2Aiijjmm ?式中:

2

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ai?xjym?xmyj aj?xmyi?xiym am?xiyj?xjyi

bi?yj?ym bj?ym?yi bm?yi?yj （d）

ci?xm?xj cj?xi?xm cm?xj?xi

为了书写方便，可将上式记为: ai?xjym?xmyi

?yj?y c?xm?x

ij bi?????,j?,m) ?m (i????????(i???,j?,m) 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m作轮换的方式便可得到(d)?式。 将(c)式代入2-1-2中,整理后可得:

u?N(x,y)u?N(x,y)u?Nm(x,y)um

iijj 同理: v?N(x,y)v?N(x,y)v?Nm(x,y)vm （2-1-2）b iijj 式中:

??????1,j,?m) (2-1-3) Ni?(ai?bix?ciy) (i?????

将三角形单元的位移函数用矩阵表示：

?ui????vi?????u???Ni 0 Nj 0 Nm 0 ??uj?f(x,y)????? (2-1-4)a??? v??0 Ni 0 Nj 0 Nm???i??v????u??m???vm?? 或：

2A??u??{f}????[N]{d}e (2-1-4)b??v??

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