数列不等式证明技巧 遂宁市第七中学

例1.已知an?1?1?郑廷楷

211，a1?，求证(-1)a1 +(-1)2a2+…+(-1)nan<1 an7证明：先证0?a2n?1?2，a2n?2（*）

1125<2，a2??2 711∴当n=1时（*）式成立

当n=1时∵0

a2n?12(a2n?2)(a2n?1)

a2n(a2n?2)3a2n?1??423?4a2n?12554注意a2?，b1?a2?a1?

1177bbb54bn?b1?2?3??n??(2?3)n?1

b1b2bn?177bn?12(a2n?1)?=bn1a2n(a2n?2)2?2?2-3

77[1?(2?3)]因此当n为偶数时：(-1)a1 +(-1)2a2+…+(-1)nan<1成立 当n为偶奇数时多了个负加数因此原式也成立 故原命题总成立。 例2.数列{an}中，an?1?1?a，求证：对于一切正整数n都有an?1 anb1?b2?b3???bn?54?4(3?1)<1 11

1?a211?a1?a3证明：a1?1?a?，a2??a? ?a?221?aa11?a1?a1?an?111?a21?a4，猜出：an?（*） a3??a??a?1?ana21?a31?a3下面用数数归纳法证明（*）

当n=1时（*）显然成立

1?ak?1假设当n=k时（*）成立，即ak?

1?ak11?ak1?ak?2则ak?1??a? ?a?ak1?ak?11?ak?1即当n=k+1时（*）也成立

1?an?1故当n?N?时an? 成立

1?an1?an?11?an?1?1?anan(1?a)an?1??1???0，?an?1 nnn1?a1?a1?a

例3．证明： a?1,n?2，且n?N?，求证an?11?n(a?) naa1n1a(a2n?1)a(1?a2n)a?n2证明：（a?a3???a2n?1) ?n?n21a(a?1)a(1?a)aa?aan?211?nn(a?a3???a2n?1)n＝nn(an1)n?n aa11111?0，于是an?n?n(a?) aaa1例4．数列bn?3n?1,而数列an=loga(1?) (a大于1），Sn是数列an前n项之和，

bnlogabn?1求证：Sn?

3113n)?loga证明：an?loga(1?)?loga(1?

bn3n?13n?1363nSn?a1?a2???an=loga?loga???loga

253n?1363n) =loga(????253n?1由假分数的性质得

因a?1，故a?

363n473n?1?????（1） ????253n?1363n363n583n?2?????（2） ????253n?1473n?1363n363n又????＝????（3） 253n?1253n?1（1）×（2）×（3）得 363n33?4?5???(3n?2)(3n?1)(3n?2)?（???? )?2?3?4???(3n?1)2?3253n?1363n3(3n?1)(3n?2)当n≥2 时（????>3n+2=bn?1 )?253n?12?3因为a?1

logabn?1363n故有3loga(???? )?logabn?1，即Sn?3253n?13loga5当n=1 时S1?loga?，综上当n≥2 时原式成立。

32例5．已知y?f(x)，f(?1)?1，对任意实数x,y满足：f(x?y)?f(x)?f(y)?3 (1)当n?N时求f(n)的表达式；

(2)若b1?1，bn?1?bn?f(n?1)，求bn；

1117(3)求证：当n?N?时?????

b1b2bn4解：（1）令x?y?0，得f(0)?3

令x?1,y??1得f(0)?f(1)?f(?1)?3，f(1)?5 故f(n?1)?f(n)?f(1)?3?f(n)?2，f(n?1)?f(n)?2

当n?N时f(n)?f(?1)?[f(0)?f(?1)]?[f(1)?f(0)]?[f(2)?f(1)]

???[f(n)?f(n?1)]=1?2(n?1)?2n?3

(2)bn?1?bn?f(n?1))?bn?2n?1

bn?1?bn?2n?1

故bn?b1?(b2?b1)?(b2?b1)???(bn?bn?1) ＝1?3?5???(2n?1)?n2

1117????? b1b2bn41111111?1????????当n?3时????

b1b2bn43?34?4n?n15115117???????＝?(?)?

(n?1)n42n42?33?44（3）证明：当n?1或2时易证

例6．已知函数f(x)??x3?ax在(0,1)上是增函数。 (1)求实数a的取值集合A

(2)当a中取A中最小值时，定义数列{an}满足：2an?1?f(an)且a1?b?(0,1)，b为常数，试比较an?1与an的大小

(3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c使0?an?c?1对一切n?N?恒成立？ 解：(1)f?(x)??3x2?a?0 对x?(0,1)恒成立

故f(1)??3?a?0，即a?3，集合A＝[3,??) (2) 集合A＝[3,??)中的最小值是3 当a?3时，f(x)??x3?3x

1133an?1?f(an)??an?an

2221311an?1?an??an?an??an(an?1)(an?1)①

222下面用数学归纳法先证明an?(0,1) a1?b?(0,1)，假设ak?(0,1)

13312ak?1??ak?ak??ak(ak?3)?0

222133131ak?1?1??ak?ak?1??(ak?3ak?2)??(ak?1)2(ak?2)?0

2222于是ak?1?(0,1)

由数学归纳法原理得当n?N?时an?(0,1)总成立

1于是?an(an?1)(an?1)?0

2由①得，an?1?an

(3) 由(2)知an?(0,1)，{an}递增

于是a1?an?1，即b?an?1，因此取0?c?b?1，0?b?c?an?1?c?1 对对一切n?N?恒成立。

12例7．已知数列?an?满足an?(an?1?2)an?2an?1?1?0,且a1??,

2求证：（1）?1?an?0（2）a2n?a2n?1（3）{a2n?1}是递增数列.

22证明：（1）an?(an?1?2)an?2an?1?1?0，(an?2)an?1??(an?1)

(a1?1)21由于a1???(?1,0)，于是a2???0，

2a1?2(a1?1)2a1?2?(a1?1)21?a1(a1?1)?0，a2??1 ＝a2?1?1??a1?2a1?2a1?2假设ak?(?1,0)，用上面的方法可得ak?1?(?1,0)

由数学归纳法原理得an?(?1,0)

（2）an?1(an?1)2(an?2?1)2(an?2)2?2(an?2)?1 ??????an?2an?2an?211)?2，an?1?2??(an?2?)?4 an?2an?213，bn?1?4?(bn?)

bn2＝?(an?2?设bn?an?2，于是b1?a1?2?由（1）知1?bn?2，函数f(x)?x?b2?4?(b1?1在x?(1,2)上是递增 x111)?， b261111?b1?，4?(b2?)?4?(b1?)， 由b2?b1得，b2?b1b1b2b21111故b3?b2得，b3??b2?，4?(b3?)?4?(b2?)

b3b3b2b2于是b4?b3，假设b2k?b2k?1，用上面的方法可得b2k?2?b2k?1 由数学归纳法原理得b2n?b2n?1恒成立，故a2n?a2n?1恒成立 （3）b2n?1?b2n?1?4?(b2n?1b2n?1111?b2n?1 )?b2n?1?4?[4?(b2n?1?)]?b2nb2n?1b2n＝?1?0（由（2）） b2n所以b2n?1?b2n?1?0，{b2n?1}递增，于是{a2n?1}递增

1例8．用数学归纳法证明(1?)n?n(n?3,n?N?)

n证明：（1）当n=3时成立，（自已验证）

1（2）假设当n?k(k?3)，即(1?)k?k

k1k?1111k当n?k?1时(1?)?(1?)k(1?),?k(1?)?k??k?1

k?1kk?1k?1k?1因此当当n?k?1时时原式也成立 综上，当n?3,n?N?时，原式总成立

例9．已知a,b,c三个正数成等差数列，公差不为零，n?3,n?N? 用数学归纳法证明：an?cn?2bn

证明：因为a,b,c三个正数成等差数列，所以a?c?2b