（1）当n=2时，因为公差不为零，所以a?c，所以

(a?c)2a?c??2b2，于是当n=2时原式成立

222（2）假设当n?k(k?2)时原式成立，即ak?ck?2bk 当n?k?1时

ak?1?ck?1(a?c)(ak?ck)ak?1?ck?1?ack?cak)(a?c)(ak?ck)????0

222k?1因此ak?1?c(a?c)(ak?ck)??b(ak?ck)?b?2bk?2bk?1

2于是当n=k+1时原式成立

综上，当n?2,n?N?时，原式总成立。

nn例10．求证：()n?n!?()n (n?6，n?N?)

23n()n证明：（1）设an?2

n!an?1ann?1n?1)n!1n?1n112???()?(1?)n n(n?1)!2n2n()n2(a1由于当n?2时，(1?)n?2，因此，n?1?1，an?1?an

ann36729??1，故当n?6时an?1 因a6?an?6!720!n()nn即2?1，故()n?n!

n!2n?1n?1n()()nbn!1n?1n11??()?(1?)n （2）设bn?3，n?1?3nn!bn(n?1)!3n3n()n3b1当n?N?时(1?)n?3，n?1?1，bn?1?bn

bnn

nn()2664n??1，故当n?6时bn?1，即3?1，故()n?n! 因b6?n!6!7203综上，原不等式得证。

例11．已知抛物线y2?x?4上的两点A(0,2)，A(?4,0)在该抛物线上找一点C1，使AB?BC1，找一点C2，使AC1?C1C2，找一点C3，使AC2?C2C3，…，依次下去，得到

?，Cn，?，记Cn(an,bn)(1)写出bn?1与bn的关系（2）求证抛线上一系列点C1，C2，C3，bn?(?1,0)（3）求证b2n?b2n?1（4）求证{b2n?1}递增 证明：（1）因ACn?CnCn?1故

bn?1?bnbn?2?，

an?1?anan2因Cn(an,bn)在抛物线y2?x?4，故an?bn?4故

bn?1?bnbn?1?bn22?bn?2bn?42??1

1111???1，bn?1???bn???(bn?2)?2

bn?1?bnbn?2bn?2bn?2(2)用数学归纳法 ①由AB?BC1得

b1b221???1，12???1，b1???(?1,0) a1?442b14②假设bk?(?1,0)，则bk?1(bk?1)21???bk???0

bk?2bk?2(bk?1)2bk?2?(bk?1)21?bk(bk?1)?0，bk????1 ＝bk???1?1??bk?2bk?2bk?2于是bk?1?(?1,0)，由数学归纳法原理得bn?(?1,0)

11?bn?4??(bn?2) （3）bn?1?2??bn?2bn?21设dn?bn?2，则dn?1?4?(?dn)

dn1由（1）知1?dn?2，函数f(x)?x?在x?(1,2)上是递增

x111d2?4?(d1?)?，

d261111?d1?，4?(d2?)?4?(d1?)， 由d2?d1得，d2?d2d1d2d11111)?4?(d2?) ?d2?故d3?d2得，d3?，4?(d3?d3d3d2d2于是d4?d3

假设d2k?d2k?1，用上面的方法可得d2k?2?d2k?1 由数学归纳法原理得d2n?d2n?1恒成立，故b2n?b2n?1

111?d2n?1 )?d2n?1?4?[4?(d2n?1?)]?(4) d2n?1?d2n?1?4?(d2n?d2nd2n?1d2nd?d2n?111??2n?0（由（3）＝） dddd2n?12n2n2n?1

所以d2n?1?d2n?1，于是b2n?1?b2n?1，{b2n?1}递增