杨辉三角的规律以及定理 李博洋

摘要 杨辉三角中的一些规律 关键词 杨辉三角 幂 二项式

引言

杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角” 的规律进行探讨和研究。

内容

1二项式定理与杨辉三角

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)的展开式来探讨。 由上式得出： (a+b)＝a

3

2

2

2

+2ab+b2 此代数式的系数为： 1 2 1

3

则(a+b)的展开式是什么呢？答案为：a+3a2b+3ab2+b3 由此可发现，此代数式的系

4

数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)的展开式。 展开式为：a

4

+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 由此又可发现，代数式的系数为：

0

1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (11)

1 1 (11) 1 2 1 (11) 1 3 3 1 (11) 1 4 6 4 1 (11) 1 5 10 10 5 1 (11) 1 6 15 20 15 6 1 (11)

654321

因此可得出二项式定理的公式为：

(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n

因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

2杨辉三角的幂的关系

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：

1 ( 1 )

1 1 ( 1+1=2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) ……

相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂

3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

(1)

1 (2) n=1 1 1 (3) n=2 1 2 1 (4) n=3 1 3 3 1 (5) n=4 1 4 6 4 1 (6) n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1

把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1

将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。

总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：

1、

每个数等于它上方两数之和。 2、

每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。 3、

第n行的数字有n+1项。 4、

第n行数字和为2^(n-1)。（2的(n-1)次方） 5

(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。[1] 6、

第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质

上面的式子是什么意思？首先c个物体有多少种选法。

i

n＋1中的

n+1，i的意思是从n+1个相同物体中选出i