导数在实际生活中的应用
41
1，?处的切线与坐标轴围成的 1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y＝x3＋x在点??3?3
三角形面积为________．
411
1，?处的切线斜率为y′|x＝1＝?x3＋x′?x＝1＝(x2＋1)|x＝1 解析：曲线y＝x3＋x在点??3??3?342
＝2，所以切线的方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，与x轴的交点和y轴的交点为
33
?1，0?，?0，－2?，所求面积为S＝1×1×2＝1. 3??3??2339
1
答案：
9
2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m∈R，若函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值
点， 则m的取值范围是________．
解析：因为函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实 根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m>1， 1
即m<－.
21
答案：m<－
2
3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f(x)＝x2＋2x＋aln x，若f(x)在区间(0,1]上恒
为单调函数，则实数a的取值范围为________．
2
a2x＋2x＋a
解析：由题意知，f′(x)＝2x＋2＋x＝， x
∵f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f′(x)在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0， ∴2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在区间(0,1]上恒成立，即a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2 ＋2x)，而函数y＝－2x2－2x在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a≥0或a≤－4. 答案：a≥0或a≤－4
4．已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＞0，f′(x)＞0，则函数y＝xf(x)的递增区间
是________．
解析：当x＞0时，y′＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴y＝xf(x)在(0，＋∞)上递增． 又f(x)为奇函数，∴y＝xf(x)为偶函数，∴y＝xf(x)在(－∞，0)上递减．
答案：(0，＋∞)
5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，
已知总收益R与年产量x的关系是
1??400x－2x2 (0≤x≤400)
R＝R(x)＝?，则总利润最大时，每年生产的产品是________．
??80 000 (x>400)解析：由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100x，所以总利润函数为
2
x??300x－2－20 000 (0≤x≤400)，
P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝?
??60 000－100x (x>400)，
??300－x (0≤x≤400)，
而P′(x)＝?令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，
?－100 (x>400)，?
P最大． 答案：300
6． (江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)<0
恒成立，且f(4)＝1，若f(x＋y)≤1，则x2＋y2＋2x＋2y的最小值是________． 解析：由f(x)在(0，＋∞)上的导函数f′(x)<0恒成立，得f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为f(x＋y)≤1，f(4)＝1，则f(x＋y)≤f(4)，所以x，y满足x＋y≥4且x>0，y>0. 又因为x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，(x＋1)2＋(y＋1)2可以看作是(x，y)到 (－1，－1)的距离的平方，所以由线性规划知识可得x2＋y2＋2x＋2y的最小值是16. 答案：16
7．(江苏省高考命题研究专家原创卷)幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：
在函数解析式两边求对数得ln y＝g(x)ln f(x)，两边求导得
y′f′(x)f′(x)?g(x)?＝g′(x)ln f(x)＋g(x)，于是y′＝f(x).运用此方法 g′(x)ln f(x)＋g(x)yf(x)f(x)??可以探求得知y＝
(x>0)的一个单调递增区间为________．
解析：由题意得y′＝答案：(0，e) 二、解答题
8．(2010·东台中学高三诊断)
?－12ln x＋12?＝
x??x
－2(1－ln x)，由y′>0得0 如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈 水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m，在圆环上设置三个等分点A1，A2， A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳 相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y m. (1)设∠CA1O=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； (2)请你设计θ，当角θ正弦值是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长． 解：(1)在Rt△COA1中，CA1=y=3CA1+CB=3·(2)y′=2 +2-2tan θ= =2 ，CO=2tanθ， π +2(0<θ<)． 4 1 ，令y′=0，则sin θ=. 3 上是增函数， 11 当sinθ>时，y′>0；sinθ<时，y′<0，∵y=sinθ在 33 12 ∴当角θ满足sinθ=时，y最小，最小为42+2；此时BC=2－ (m)． 329. (江苏省高考命题研究专家原创卷)一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比． (1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？ (2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木， 其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？ 解：(1)由题可设，安全负荷y1=k·∵小； ( k为正常数)，翻转90°后，安全负荷y2=k·. ，∴当0＜d＜a时，y1 当d=a时，y1=y2，安全负荷不变．故将此枕木翻转90°后，安全负荷不一定变大． (2)设截取的宽为a，高为d，则 ，即a2+4d2=4R2. ∵枕木的长度不变．∴u=ad2最大时，安全负荷最大． 1 由题意可设u(a)=ad2=a(R2-a2)，u′(a)=R2－a2，令u′(a)=0，可得a= 4当0 R时，u′(a)>0，函数u(a)单调递增；当 R. R u(a)单调递减．所以当a=R，d=R时，u(a)取得最大，即安全负荷最大． 10．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值； 2 (2)若g(x)＝f(x)＋x在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．