高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

?A?CUB???CUA?B?R

3．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个. 4.闭区间上的二次函数的最值 二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??区间的两端点处取得，具体如下： 5.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 6.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q 对任何x， 不成立 存在某x， 成立 p且q nnnnb处及2a反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q ?p或?q 7.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 8.充要条件

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.

1

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 9.函数的单调性

(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.

10.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?11．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 12.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?b; 213. 若f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数. 14．多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 15.函数y?f(x)的图象的对称性 (1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x) ?f(2a?x)?f(x). (2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2?f(a?b?mx)?f(mx). 16.两个函数图象的对称性 (1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?(3)函数y?f(x)和y?f?1a?b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

17.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图

象.

18．互为反函数的两个函数的关系

f(a)?b?f?1(b)?a.

19.分数指数幂 (1)amn?1nam（a?0,m,n?N，且n?1）.

? 2

mn(2)a??1amn（a?0,m,n?N?，且n?1）.

20．根式的性质 （1）(na)n?a.

（2）当n为奇数时，nan?a； 当n为偶数时，nan?|a|??21．有理指数幂的运算性质 (1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q). (3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q). p注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 22.指数式与对数式的互化式

?a,a?0.

??a,a?0logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0). 23.对数的换底公式 logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0). logmann推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0). mlogaN?24．对数的四则运算法则 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN; M?logaM?logaN; N(3)logaMn?nlogaM(n?R). (2) loga25.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为2R,则a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验. 26.数列的同项公式与前n项的和的关系 n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an??s?s,n?2?nn?127.等差数列的通项公式

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

其前n项和公式为

sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 2241.等比数列的通项公式

an?a1qn?1?

a1n?q(n?N*)； q3