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11.导数的综合应用（含答案）（高二）

1.（15北京理科）已知函数f?x??ln

1?x． 1?x（Ⅰ）求曲线y?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程； ?x3?1?时，f?x??2?x??； （Ⅱ）求证：当x??0，3???x3?1?恒成立，求k的最大值． （Ⅲ）设实数k使得f?x??k?x??对x??0，3??【答案】（Ⅰ）2x?（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k的最大值为2. y?0，

试题解析：（Ⅰ）

f(x)?ln1?x2,x?(?1,1),f?(x)?,f?(0)?2,f(0)?0，曲线21?x1?xy?f?x?在点?0，f?0??处的切线方程为2x?y?0；

3x?x3?1?时，f?x??2?x??，即不等式f(x)?2(x?)?0，对（Ⅱ）当x??0，33???x?(0,1)成立，设

1?xx3x3F(x)?ln?2(x?)?ln(1?x)?ln(1?x)?2(x?)，则

1?x332x41?时，F?F?(x)?(x)?0，故F(x)在（0，1）上为增函数，则，当x??0，1?x2F(x)?F(0)?0，因此对?x?(0,1)，

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f(x)?2(x?x33)成立；

?x3?1?，等价于（Ⅲ）使f?x??k?x??成立，x??0，3??1?xx31?； F(x)?ln?k(x?)?0，x??0，1?x32kx4?2?k2F?(x)??k(1?x)?，

1?x21?x2当k?[0,2]时，F?(x)?0，函数在（0，1）上位增函数，F(x)?F(0)?0，符合题意；

(x)?0,x0当k?2时，令F?4?k?2?(0,1)， kx0 0 x (0,x0) - (x0,1) + F?(x) F(x) 极小值 F(x)?F(0)，显然不成立，

综上所述可知：k的最大值为2.

考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.

2．（15年安徽理科）设函数f(x)?x?ax?b.

2（1）讨论函数f(sinx)在(-2??,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

22（2）记f0(x)?x?a0x?b0,求函数f(sinx)?f0(sinx)在(-（3）在（2）中，取a0?b0?0,求z?b???,)上的最大值D； 22a2 满足D?1时的最大值。4a2

【答案】（Ⅰ）极小值为b?；（Ⅱ）D?|a?a0|?|b?b0|；（Ⅲ）1.

4

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试题解析：（Ⅰ）f(sinx)?sinx?asinx?b?sinx(sinx?a)?b，?2?2?x??2.

[f(sinx)]'?(2sinx?a)cosx，??2?x??2.