第七章 度量空间和赋范线性空间
复习题：
1.设(X,d)为一度量空间，令
U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},
问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？
2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义
?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).
证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.
3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.
4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明
?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)
也是X上的距离.
5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的
各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.
6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集
{f|当t?B时, f(t)=0}
为C[a,b]中的闭集，而集
A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(?a
为开集的充要条件是B为闭集.
7.设E及F是度量空间中两个集，如果d(E,F)?0，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F.
8.设B[a,b]表示[a,b]上实有界函数全体，对B[a,b]中任意两元素
f,g?B[a,b]，规定距离为
d(f,g)?sup|f(t)?g(t)|.
a?t?b证明B[a,b]不是可分区间.
9.设X是可分距离空间，f为X的一个开覆盖，即f是一族开集，使得对每个x?X，有f中开集O，使x?O，证明必可从f中选出可数个集组成X的一个覆盖.
10.设X为距离空间，A为X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X，证
y?A明f(x)是X上连续函数.
11.设X为距离空间，F1,F2为X中不相交的闭集，证明存在开集
G1,G2，使得G1?G2??,G1?F1,G2?F2.
12.设X,Y,Z为三个度量空间，g是Y到f是X到Y中的连续映射，
Z中的连续映射，证明复合映射(gf)(x)?g(f(x))是X到Z中的连续映
射.
13.设X是度量空间,f是X上的实函数，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合
{x|x?X,f(x)?c}和集合{x|x?X,f(x)?c}. 都是闭集.
14.证明柯西点列是有界点列.
15.证明§1中空间S,B(A)以及离散空间都是完备的度量空间.
16.证明l?与C(0,1]的一个子空间等距同构.
17.设F是n维欧几里得空间Rn中有界闭集,A是F到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何x,y?F(x?
d(Ax,Ay)?d(x,y),
y)，有
证明映射A在F中存在唯一的不动点.
18.设X为完备度量空间,A是X到X中映射，记 an?supx?x?d(Ax,Ax?)d(x,x?)nn.
若?ann?1???，则映射A有唯一不动点.
19.设A为从完备度量空间X到Y中映射，若在开球U(x0,r) (r?0)内适合
d(Ax,Ax?)??d(x,x?),0???1.
又A在闭球S(x0,r)?{x|d(x,x0)?r}上连续，并且
d(x0,Ax0)??(1??)r.
证明：A在S(x0,r)中有唯一的不动点.
n20.设a?jk,j,k?1,2,?,n为一组实数，适合条件jk?(ai,j?1ij??ij)?1，其中
2当j?k时为1，否则为0.证明：代数方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2, ??????????????ax?ax???ax?bnn22nnn?n11
对任何一组固定的b1,b2,?,bn，必有唯一的解x1,x2,?,xn.
21.设V[a,b]表示[a,b]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算
(x),证明为通常函数空间中的运算.在V[a,b]中定义范数||x||?|x(a)|?VaV[a,b]是
bBanach空间.
22.设X1,X2,?是一列Banach空间，x?{x1,x2,?,xn,?}是一列元素，其中xn?Xn,n?1,2,?,并且?||xn||p??，这种元素列的全体记成X，类
n?1?似通常数列的加法和数乘，在X中引入线性运算.若令
?1pp||x||?(?||xn||)n?1，
证明：当p?1时，X是Banach空间.
23.设X是线性赋范空间，X每个(x,y)?X?X，定义||(x,y)||?间.证明X?X?X为两个X的笛卡尔乘积空间，对
22||x||?||y||,则X?X成为赋范线性空
到X的映射：(x,y)?x?y是连续映射.
24.设?是实（复）数域，X为赋范线性空间，对每个(?,x)???X，定义||(?,x)||?|?|?||x||22，则(?,x)??x为??X到X中的连续映射.
25.设C为一切收敛数列所组成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同.在C中令||x||?sup|xi|,x?{xn}?C，证明C是可分的Banach
i空间.
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
复习题
1.举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间.
2.求C[?1,1]上线性泛函f(x)???1x(t)dt??0x(t)dt的范数.
?013.设无穷阵(aij)i,j?1,2,?,满足supi?j?1|aij?|?作.l?到l?中算子如
?下：若x?(ξ1,ξ2,?),y?(?1,?2,?),Tx?证明||T||?sup?|aij|.
ij?1?y,则?i???ξ,i?1,2,?.
ijjj?14.设sup|?n|??,在lp(p?1)中定义线性算子：y?Tx,?in?1??ξ,i?1,2,?,ii其中x?(ξ1,ξ2,?,ξn,?),y?(?1,?2,?,?n,?),证明T是有界线性算子，并且
||T||?sup|?n|.
n?15.设X是n维向量空间，在X中取一组基{e,e12,?,en},(t??)n是n?n矩
e??，其中阵，作X到X中算子如下：当x??x?e?时，y?Tx??y??1nnn??11y???t??1???x,??1,2,?,n.若规定向量的范数为||x||?(?|x?|)2，证明上述
2??1n12nn1算子的范数满足m?ax(?|t????1|)2?||T||?(??|t??|)22.
??1??16.设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y的线性算子，若T的零空间是闭集，T是否一定有界？
7.作
l(1?p???)p中算子
?T如下：当
x?(x1,x2,?)?l??qp时，
??,Tx?(y1,y2,?,yn,?),其中yn??tm?1nmxm,n?1,2,3,?,?(?|tnm|)n?1m?1p/q
1p?1q?1，证明：T是有界线性算子.
|ξj|,x=(ξ1,ξ2,?,ξn)成赋范线性空间，问此赋8.Rn按范数||x||?maxj范线性空间的共轭空间是什么？
9.设C0表示极限为0的实数列全体，按通常的加法和数乘，以及
||x||?sup|ξi|,x=(ξ1,ξ2,?,ξn,?)构成
iBanach空间，证明：(C0)??l1.