第九章 内积空间和希尔伯特空间
复习题：
1.设{xn}是内积空间X中点列，若||xny?X，且对一切||?||x||n(??)有
xn,y?x,y(n??)，证明xn?x(n??).
2.设X1X2,?,Xn?是一列内积空间，令
2X?{{xn}|xn?Xn,?||xn||??},当{xn},{yn}?Xn?1?时，规定
??{xn}??{yn}?{?xn??yn},其中?,?是数，{xn},{yn}??n?1xn,yn,证明：X是内积空间，又当Xn都是Hilbert空间时，证明X也是Hilbert空间.
3.设X是n维线性空间，{e1,e2,?,en}是X的一组基，证明为X上内积的充要条件是存在n?n正定方阵??(a??)，使得
nnnx,y成
?x?e?,?y?e???1??1???,??1a??x?y?.
y||?||x||?||y||,则x?y2224.设X是实内积空间，若||x?，当X是复
内积空间时，这个结论是否仍然成立？
5.证明：内积空间X中两个向量x,y垂直的充要条件是：对一切数a，成立||x?ay||?||x||.
6.设X是Hilbert空间，MM?X,并且M??,证明(M?)?是X中包含
的最小闭子空间.
7.设{en}是L2[a,b]中的规范正交系，说明两元函数列en(x)em(y)
若{en}完全，则两元函(n,m?1,2,3,?)是L([a,b]?[a,b])中的规范正交系，
2数列en(x)em(y)(n,m?1,2,3,?)也是完全的.
8.设
e1,e2,?en为内积空间
X中规范正交系，证明：
X到
span{e1,e2,?,en}的投影算子P为Px????1nx,e?e?,x?X.
9.设X为可分Hilbert空间，证明X中任何规范正交系至多为可数集.
10.设X是内积空间，X?是它的共轭空间，fz表示X上线性泛函
fz(x)?x,z,若X到X?的映射F：z?fz是一一到上的映射，则X是
Hilbert空间.
11.设X和Y为Hilbert空间，?是X到Y中的有界线性算子，N(A)和R(A)分别表示算子A的零空间和值域，证明
N(A)?R(A),N(A)?R(A)R(A)?N(A),R(A)?N(A)????????
12.设T是Hilbert空间X中有界线性算子，||T||?1,证明： {x|Tx?x}?{x|Tx?x}.
13.设H是Hilbert空间，M是H的闭子空间，x0?H，证明：
min{||x?x0|||x?M}?max{|x0,y||y?M,||y||?1}.
??14.设H是复Hilbert空间，M为H的闭子空间，则M为H上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是M?是一维子空间.
15.设T为Hilbert空间X上正常算子，T解，证明：
（1）||T||?||A?B||,
222?A?iB为T的笛卡尔分
（2）||T2||?||T||2.
16.证明：A是实内积空间X上自伴算子时，A?0的充要条件为对所有x?X，成立
Ax,x?0.
17.设U是Hilbert空间L2[0,2?]中如下定义的算子：
(Uf)(t)?ef(t),f?L[0,2?],
it2证明U是酉算子.
218.设?是平面上有界L可集测，L(?)表示?上关于平面L测度平
方可积函数全体，对每个正常算子.
f?L(?)，定义(Tf)(z)?zf(z),z??,证明T2是
第十章 巴拿赫空间中的基本定理
复习题：
1.设X是赋范线性空间，x1,x2,?,xk是X中k个线性无关向量，
?1,?2,?,?k是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：
f||?M（1）f(x?)??v,??1,2,?,k, （2）||
的线性连续泛函f的充要条件为：对任何数t1,t2,?,tk,
kk|?t???|?M||?t?x?|| 都成立.
??1??12.设
X是赋范线性空间，Z是
X的线性子空间，x0?X，又
d(x0,Z)?0，证明存在f?X?，满足条件：
（1）当x?Z时，f(x)?0； （2）f(x0)?d(x0,Z)； （3）||f||?1.
3.证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的. 4.证明Banach空间X自反的充要条件是X?自反.
5.设?0,?1,?,?n,?是一列数，证明存在[a,b]上有界变差函数g(t)，
使?atbndg(t)??n,n?0,1,2,?成立的充要条件为对一切多项式p(t)?nn?c?t??0?,成立着|?c?????0|?M?max|p(t)|.其中Ma?t?b为常数.
p6.设T为lp(p?1)中单向移位算子，即若x?(ξ,ξ,?,ξ,?)?l，则
12nTx?y?{0,ξ1,ξ2,?,ξn,?}，求T?.
7.举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉. 8.证明：在完备度量空间X中存在闭球套定理，即若 且S1?S2S??{x|d(x,x?)???},??1,2,?,
???Sn??,???0(???)，则存在唯一的x??S?；反之，若
??1?在度量空间X中存在闭球套定理，则X是完备度量空间.
ξ1,ξ2,?,ξn,?}?C0,9.设y?{?1,?2,?,?n,?}是一列复数，若对任何x?{级数?ξj?j都收敛，证明：y?l1，其中C0的定义见第八章题9.
j?1?10.设f(t)是[a,b]上的L可测函数，p?1，若对一切g?Lp[a,b]，函数
f(t)g(t)都在[a,b]上L可积，则f?L[a,b]，其中
q1p?1q?1.
11.证明：设X是Banach空间，p(x)是X上泛函，满足条件： （1）p(x)?0； （2）??0时，p(?x)??p(x)；
（3）p(x1?x2)? （4）当x?X,xnx?Xp(x1)?p(x2); ?xp(xn)?时，limn??p(x).证明必有M?0，使对一切
，成立p(x)?M12.设Tn?B(X||x||.
?Y)(n?1,2,?)，其中X是Banach空间，Y是赋范线
性空间，若对每个x?X,{Tnx}都收敛，令Tx?lim证明T是X到Y中Tnx，x??有界线性算子，并且||T||?lim||Tn||.
n??13.设X是可分Banach空间，M是X?中有界集，证明M中每个点列含有一个弱＊收敛子列.
14.证明：空间C[a,b]中点列{xn}弱收敛于x0的充要条件是存在常数
M，使得||xn||?M,n?1,2,?,并且对任何t?[a,b]，成立limxn(t)?x0(t). n??15.设X是赋范线性空间，M为X的闭子空间，若M中点列{xn}，
当n??时弱收敛于x0，那么必有x0?M. 16.证明：
x?{ξ1,ξ2,?}?lpl(p?1)中
p点列
nxn?{ξ,ξ21(n)(n),?},n?1,2,?,弱收敛于
?ξk(n)ξk的充要条件为sup||x||??,且对每个k,limn??.
17.设X是线性空间，||x||1和||x||2是X上两个范数，若X按||x||1及
||x||2都完备，并且由点列{xn}按||x||1收敛于
0，必有按||x||2也收敛于0，
证明存在正数a和b，使a||x||1?||x||2?b||x||1. 18.设T是Banach空间
X到赋范线性空间F中的线性算子，令
n0Mn?{x|||Tx||?n||x||},n?1,2,?,证明：总有M在X中稠密.
19.用闭图像定理证明逆算子定理.
20.设A及B是定义在Hilbert空间X上的两个线性算子，满足
Ax,y?x,By，其中x,y为X中任意向量，证明A是有界算子.
21.设T为定义在复Hilbert空间X上的有界线性算子，若存在常数
?0?0，使Tx,x??0x,x，则称T为正定的.证明：正定算子必有有界
1逆算子T?1，并且||T?1||?
?0.