第十一章 线性算子的谱

复习题： 1.设X征值.

2.设X3.设X?C[0,2?],(Ax)(t)?ex(t),x?X2?C[0,1],(Ax)(t)?tx(t),x?X.证明?(A)?[0,1],且其中没有特

it.证明?(A)?{?||?|?1}.

，试求?(A).

?l,Ax?A(x1,x2,?,xn?)?(x2,x3,?,xn?)4.设F是平面上无限有界闭集，在l2中定{an}是F的一稠密子集，义算子

T：

Tx?T(x1,x2,?,xn,?)?(?1x1,?,?nxn,?),则

?n都是特征

值,?(T)?F,F\\{an}中每个点是T的连续谱.

5.设?为线性算子An的特征值，则?的n次根中至少有一个是算子A的特征值.

6.设A为Banach空间X上的有界线性算子,

?0??(A), 又设{An}||An?A||?0,证明当n充分大后,An也以为X上一列有界线性算子,且limx???0为正则点.

7.设A是Banach空间X上的有界线性算子，当|?|?||A||时，

?R??(A??I)?1???n?0An,||R?||?n?11|?|?||A||.

?R??(???)R?R?8.设A为X上的有界线性算子，则R??,???(A)，其中R?与R?的意义同第七题.

.

9.设A为Hilbert空间H上的有界线性算子，A?为A的共轭算子，证明?(A?)?{?|???(A)}??(A).

10.设T1是X1到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1到X3的全连续算子.

11.设A是l上线性算子，记en2?(0,0,?,0,1,0,?)?????n?1个，Aek=?ajkej，其

j?1?中?|aij|2

i, j?1?12.en的符号同第十一题.作l2上算子U. Ue是l2上全连续算子且?(U)={0}.

=k1kek+1,k=1,2,?证明U13.设(A?)(s)=?0es+t?(t)dt.求A的特征值和特征函数. （提示：记c=?0et?(t)dt） 14.如果积分算子的核为K(s,t)=?k?1n11pk(s)qk(t)，其中{pk}为线性无关

n的函数组，则其非零特征值?相应的特征向量e有形式e=?ckpk，ck是

k?1bn常数. 若记qij=?aqi(x)pj(x)dx，则ck可由下式决定：?ck=?qikci,k=1,2,?,n.

i?115.在14题中，若pi(x)?qi(x),函数.

16.若K(s,t)?cos(s?t),数.

17.解方程?(x)?2?018.解方程?(x)?3?0?pi,qj?0,(i?j).试求特征值和特征

0?s,t??,求积分算子K的特征值和特征函

cos(x?s)?(s)ds?1. xs?(s)ds?3x?2.

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