③、若A:B，则r(A)?r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

?1ac??01b②、型如???的矩阵：利用二项展开式； ?001???

二项展开式：(a?b)?Ca?Cab?L?Ca注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；

n(n?1)LL(n?m?1)n!?1g2g3gLgmm!(n?m)!n0nn1nn?11mnn?mb?L?Cmn?11n?1nabmmn?m； ?Cb??Cnabnnnm?0nⅡ、Cnm?0nCn?Cn?1

nmn?mⅢ、组合的性质：Cn?Cnmmm?1Cn ?1?Cn?Cn?Cr?0rn?2nrr?1rCn?nCn?1；

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

?n?①、伴随矩阵的秩：r(A*)??1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值：③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X)；

n?1

8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程； 10. 线性方程组Ax?b的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

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③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

?a11x1?a12x2?L?a1nxn?b1????ax?ax?L?ax?b????2nn2①、?211222；

LLLLLLLLLLL???am1x1?am2x2?L?anmxn?bn?a11a12?aa22②、?21?MM??am1am2LLOLa1n??x1??b1??????a2n??x2??b2? ??Ax?b（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）

M??M??M??????amn??xm??bm??x1??b1?????x2?b?an???（全部按列分块，其中???2?）； ?M??M?????x?n??bn?③、?a1a2L④、a1x1?a2x2?L?anxn??（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.

m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,L,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,L,?m)；

??1T??T??TTTm个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,L,?m构成m?n矩阵B??2?；

?M????T???m?含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14) 4. 5.

r(ATA)?r(A)；(P101例15) n维向量线性相关的几何意义：

???0； ①、?线性相关

②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线（平行）；

③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若?1,?2,L,?s线性相关，则?1,?2,L,?s,?s?1必线性相关；

若?1,?2,L,?s线性无关，则?1,?2,L,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

考研

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s(二版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示

?AX?B有解；

?r(A)?r(A,B)（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)（P85定理2推论）

8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,L,Pl，使A?P1P2LPl；

①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解 ②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵Am?n与Bl?n：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若Am?sBs?n?Cm?n，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；

②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解； 12. 设向量组Bn?r:b1,b2,L,br可由向量组An?s:a1,a2,L,as线性表示为：（P110题19结论）

(b1,b2,L,br)?(a1,a2,L,as)K（B?AK）

cr 其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关

性）

（必要性：Qr?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）

注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；（P87） ②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关； 14. ?1,?2,L,?s线性相关

?存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks，使得k1?1?k2?2?L?ks?s?0成立；（定义）

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?x1???x?(?1,?2,L,?s)?2??0有非零解，即Ax?0有非零解；

?M????xs??r(?1,?2,L,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：r(S)?n?r；

16. 若?*为Ax?b的一个解，?1,?2,L,?n?r为Ax?0的一个基础解系，则?*,?1,?2,L,?n?r线性无关；（P111题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj???1?0i?ji?j(i,j?1,2,Ln)；

②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,L,ar)

b1?a1；

b2?a2?[b1,a2]gb1 [b1,b1][b1,ar][b,a][b,a]gb1?2rgb2?L?r?1rgbr?1; [b1,b1][b2,b2][br?1,br?1]

LLL br?ar?3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆； ?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B； 5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC?B?A:B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xTAx为正定：

?A的正惯性指数为n；

?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数； ?A的各阶顺序主子式均大于0；

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?aii?0,A?0；(必要条件)

考研概率论公式汇总

1．随机事件及其概率

A????吸收律：A???AA???A A????

A?(AB)?AA?B?AB?A?(AB)

A?(A?B)?A反演律：A?B?AB AB?A?B

?Ai??Ai

i?1i?1nn?ni?1Ai??Ai

i?1n2．概率的定义及其计算

P(A)?1?P(A)若A?B ?P(B?A)?P(B)?P(A)

对任意两个事件A, B, 有 P(B?A)?P(B)?P(AB) 加法公式：对任意两个事件A, B, 有

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B)?P(A)?P(B)

P(?Ai)??P(Ai)?i?1i?1nn1?i?j?n?P(AA)ij?1?i?j?k?n?P(AAA)???(?1)ijknn?1P(A1A2?An)

3．条件概率

P?BA??

P(AB) P(A)乘法公式 P(AB)?P(A)P?BA?(P(A)?0)

P(A1A2?An)?P(A1)P?A2A1??P?AnA1A2?An?1?(P(A1A2?An?1)?0)n全概率公式 P(A)??P(ABi) ??P(Bi)?P(ABi)

i?1ni?1

Bayes公式P(BkA)?P(B)P(ABk)P(ABk) ?nk P(A)?P(Bi)P(ABi)i?14．随机变量及其分布

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