分布函数计算

P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)

?F(b)?F(a)5．离散型随机变量

(1) 0 – 1 分布P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1

kkn?k(2) 二项分布 B(n,p)若P ( A ) = p P(X?k)?Cnp(1?p),k?0,1,?,n

* Possion定理limnpn???0 有

n??limCp(1?pn)n??knknn?kk!

k?0,1,2,??e???k(3) Poisson 分布 P(?) P(X?k)?e

6．连续型随机变量

(1) 均匀分布 U(a,b)

???kk!,k?0,1,2,?

?0,?1?,a?x?b??x?a F(x)??f(x)??b?a,

?0,?b?a其他??1?

(2) 指数分布 E(?)

??x?x?0?0,??e,x?0f(x)?? F(x)?? ??x?其他?1?e,x?0?0,

(3) 正态分布 N (? , ? 2 )

f(x)?1e2???(x??)22?2???x??? F(x)?12???x??e?(t??)22?2dt

* N (0,1) — 标准正态分布

?1?(x)?e2?x221???x??? ?(x)?2??x??e?t22dt???x???

7.多维随机变量及其分布

考研

二维随机变量( X ,Y )的分布函数 F(x,y)??

边缘分布函数与边缘密度函数

x?????yf(u,v)dvdu

FX(x)??FY(y)??x????y???f(u,v)dvdu fX(x)??????f(x,v)dv f(u,y)du

???????f(u,v)dudv fY(y)??????

8. 连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )

?1?,(x,y)?Gf(x,y)??A

?其他?0,

(2) 二维正态分布

f(x,y)?12??1?21??2??e?(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)2??2????2?1?22(1??2)??22???1?1

???x???,???y???

9. 二维随机变量的 条件分布

f(x,y)?fX(x)fYX(yx)fX(x)??????fX(x)?0???fY(y)fXY(xy)????fY(y)?0f(x,y)dy????fXY(xy)fY(y)dy fY(y)??f(x,y)dx??????fYX(yx)fX(x)dx

fYX(yx)fX(x)f(x,y) ? fXY(xy) ?fY(y)fY(y)fXY(xy)fY(y)f(x,y) ? fYX(yx) ?fX(x)fX(x)

10. 随机变量的数字特征

数学期望

E(X)??xkpkE(X)??xf(x)dx

k?1??????随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩E(Xk)X 的 k 阶绝对原点矩E(|X|k)

考研

X 的 k 阶中心矩E((X?E(X))k)X 的 方差E((X?E(X))2)?D(X)X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E(XkYl)X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩E?(X?E(X))k(Y?E(Y))l?X ,Y 的 二阶混合原点矩

E(XY)X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差E?(X?E(X))(Y?E(Y))?X ,Y 的相关系数

?(X?E(X))(Y?E(Y))????XYX 的方差D (X ) = E ((X - E(X))2) D(X)?E(X2)?E2(X) E???D(X)D(Y)??

方差cov(X,Y)?E?(X?E(X))(Y?E(Y))??E(XY)?E(X)E(Y)??相关系数?XY?cov(X,Y)

D(X)D(Y)1?D(X?Y)?D(X)?D(Y)? 2

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