专题04 函数及其表示
一、【知识精讲】 1．函数与映射的概念
函数 映射 设A，B是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 对应关系f：如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数y＝f(x)，x∈A A→B A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 映射：f：A→B 名称 记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】
1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．
2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论． 二、【典例精练】 例1.（1）函数f(x)＝
13x2－＋的定义域为________．
2x＋1
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( ) A．(－1,1)
1?? B.?－1，－? 2??
C．(－1,0)
【答案】(1)(－1，＋∞) (2)B 1??2x－≥0，2【解析】(1)由题意得???x＋1≠0，
?1? D.?，1?
?2?
解得x＞－1，所以函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
(2)令u＝2x＋1，由f(x)的定义域为(－1,0)，可知－1 得－1 1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y＝x要求x≠0； (4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； π (5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)； 2 (6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 例2.(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x－6x＋5，求f(x)； (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2，求f(x)． x2 0 ?1?21 (3)已知f?x＋?＝x＋2，求f(x)的解析式； ? x? x(4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式； 【解析】(1)法一：待定系数法 因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b(2x＋1)＋c＝4ax＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f(2x＋1)＝4x－6x＋5， 4a＝4，?? 所以?4a＋2b＝－6， ??a＋b＋c＝5， 2 2 2 2 2 a＝1，?? 解得?b＝－5， ??c＝9， 所以f(x)＝x－5x＋9(x∈R)． 法二：换元法 令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝所以f(t)＝4? 2 t－1 2 ， ?t－1?2－6·t－1＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， ?2?2? 所以f(x)＝x－5x＋9(x∈R)． 法三：配凑法 因为f(2x＋1)＝4x－6x＋5＝(2x＋1)－10x＋4＝(2x＋1)－5(2x＋1)＋9， 所以f(x)＝x－5x＋9(x∈R)． （2）(2)解方程组法 由f(－x)＋2f(x)＝2，① 得f(x)＋2f(－x)＝2，② ①×2－②，得3f(x)＝22 即f(x)＝ x＋1 x＋1－x2 2 2 2 x－2. －x－2 . 3 x＋1 －x2 故f(x)的解析式是f(x)＝－2 (x∈R)． 3 －x1?1?21?1?2 （3）由于f?x＋?＝x＋2＝?x＋?－2，令t＝x＋，当x＞0时，t≥2 ?x? x?x? xx·＝2，当且仅当x＝1时取x1 等号； 1??当x＜0时，t＝－?－x－?≤－2，当且仅当x＝－1时取等号， ?x? ∴f(t)＝t－2t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f(x)的解析式是f(x)＝x－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． （4）设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)＋b(x＋1)－ax－bx＝ 2 2 2 22 x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ??2a＝1， ∴? ?a＋b＝－1，? 1a＝，??2即?3 b＝－??2， 123 ∴f(x)＝x－x＋2. 22 【解法小结】 求函数解析式的常用方法 ?1?待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. ?2?换元法：已知复合函数f?g?x??的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.