表 1-26调查对象大学生商界人士电话调查周一至周五 周六、日3.02.53.53.0元/人次问卷调查5.05.0解：设x11,x21为周一至周五对大学生和商界人士电话调查人数，x12,x22为双休日对上述人员电话调查人数，x13,x23分别为问卷调查人数，则数学模型为 minz?3.0x11?2.5x12?5.0x13?3.5x21?3.0x22?5.0x23??x?x?x?x?x?x?600?111213212223?x11?x12?x13?250??x?x?180 s.t.?1323?x12?0.8?x11?x12??x21?0.8?x?x?2112最优解x11?0,x12?350,x13?0,x21?58,x22?11,x23?180,z*?20141.17 生产存储问题。某厂签订了5种产品（i=1，?，5）上半年的交货合同。已知各产品在第j月（j=1，?，6）的合同交货量Dij ，该月售价sij 、成本价cij 及生产1件时所需工时aij 。

该厂第j月的正常生产工时为tj，但必要时可加班生产，第j月允许的最多加班工时不超过tj＇，并且加班时间内生产出来的产品每件成本增加额外费用cij＇元。若生产出来的产品当月不交货，每件库存1个月交存储费pi元。试为该厂设计一个保证完成合同交货，又使上半年预期盈利总额为最大的生产计划安排。

'解：设xij为i种产品j月正常时间生产数，xij为加班时间生产数，模型为j6??''' maxz???[(sij?cij)xij?(sij?cij?cij)xij]??pi???(xik?xik?Dik)?i?1j?1c?1?j?1k?1?565?5??aijxij?tj (j?1,?,6)?c?1?5''ax?t??ijijj (j?1,?,6) s.t.?i?1j?j'??(xik?xik)??Dik (j?1,?,6)?k?1k?1?x?0?ij1.18 宏银公司承诺为某建设项目从2003年起的4年中每年年初分别提供以下数额贷款：2003年—100万元，2004年—150万元，2005年—120万元，2006年—110万元。以上贷款资金均需于2002年年底前筹集齐。但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额情况下，可将多余资金分别用于下列投资项目：

⑴ 于2003年年初购买A种债券，期限3年，到期后本息合计为投资额的140%，但限购60万元；

⑵ 于2003年年初购买B种债券，期限2年，到期后本息合计为投资额的125%，且限购90万元；

⑶ 于2004年年初购买C种债券，期限2年，到期后本息合计为投资额的130%，但限购50万元；

⑷ 于每年年初将任意数额的资金存放于银行，年息4%，于每年年底取出。 求宏银公司应如何运用好这笔筹集到的资金，使2002年年底需筹集到的资金数额为最少。

解：用xij(i为第1,2,3年年初，j?1,2,3,4分别为A,B,C,D四类投资数）min z?480?(x11?x12?x13?x14)?(x21?x22?x23?x24)?(x31?x32?x33?x34)?x11?(1?140%)?110??x11?60?x12(1?125%)?120??x12?90?s.t.?x23(1?130%)?110?x?50?23?(x11?x12?x13?x14)(1?4%)?100??(x21?x22?x23?x24)(1?4%)?150??(x31?x32?x33?x34)(1?4%)?120

1.19 红豆服装厂新推出一款时装，据经验和市场调查，预测今后6个月对该款时装的需求为：1月—3000件，2月—3600件，3月—4000件，4月—4600件，5月—4800件，6月—

5000件。生产每件需熟练工人工作4h，耗用原材料150元，售价为240元/件。该厂1月初有熟练工80人，每人每月工作160h。为适应生产需要，该厂可招收新工人培训，但培训一名新工人需占用熟练工人50h用于指导操作，培训期为一个月，结束后即可上岗。熟练工人每月工资2000元，新工人培训期间给予生活补贴800元，转正后工资与生产效率同熟练工人。又熟练工人（含转正一个月后的新工人）每月初有2%因各种原因离职。已知该厂年初已加工出400件该款时装作为库存，要求6月末存库1000件。又每月生产出来时装如不在当月交货，库存费用为每件每月10元。试为该厂设计一个满足各月及6月末库存要求，又使1～6月总收入为最大的劳动力安排方案。

解：设该厂每月初拥有熟练工人数xt(t?1,?,6),每月招收培训的新工人数为yt,该厂月末库存为It，一月初库存为Io，Rt为各月对时装的需求数，则数学模型为 maxz??(每月销售收入?熟练工人工资?培训工人补助?原材料费?库存费）i?16?It?1?40xt?12.5yt?Rt?I?I?40x?40y?12.5y?R?tt?1tt?1tt s.t.??xt?1?0.98xt?yt??xt,yt?0解得z*=875122元，各月有关数字如下：txt1 2 3 4 5 6804.07559.3482.4725.800106.6226.450130.930637.38128.320970.02125.7501000ytIt

第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析

2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题，并以对偶问题为原问题，再写出对偶的对偶问题。

(1) min z?2x1?2x2?4x3?x1?3x2?4x3?2?2x?x?3x?3?123 s.t.??x1?4x2?3x3?5?x1,x2?0,x3无约束?解：对偶问题：maxw?2y1?3y2?5y3?y1?2y2?y3?2?3y?y?4y?2?123 s.t.? 4y?3y?3y?423?1?y1?0,y2?0,y3无约束? 对偶的对偶问题：minv?2m1?2m2?4m3?m1?3m2?4m3?2?2m?m?3m?3?123 s.t.??m1?4m2?3m3?5?m1,m2?0,m3无约束 ?(2) maxz?5x1?6x2?3x3?x1?2x2?2x3?5??x?5x?x?3?123 s.t.? 4x?7x?3x?823?1?x1无约束，x2?0,x3?0?解：对偶问题：minw?5y1?3y2?8y3?y1?y2?4y3?5?2y?5y?7y?6?123 s.t.??2y1?3y2?3y3?3?y1无约束，y2?0,y3?0? 对偶的对偶问题：maxv?5m1?6m2?3m3?m1?2m2?2m3?0??m?5m?3m?0?123 s.t.??4m1?7m2?3m3?0?m1无约束，m2?0,m3?0 ?