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二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分 基础知识

1.定义：一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax的性质

（1）抛物线y?ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y?ax的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax（a?0）. 3.二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 4.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h?22222222b4ac?b2?k的形式，其中h??，k?.

2a4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax；②y?ax?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；

2⑤y?ax?bx?c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac?b2bb?4ac?b2?2（?，） （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是直线x??. ??2a4a2a2a4a?? （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线

22x?h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对

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称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线

222x??bbb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③?0（即a、2aab异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点的位置.

当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 ba?0. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y?ax2 x?0（y轴） （0,0） y?ax2?k x?0（y轴） (0, k) y?a?x?h?2 当a?0时 x?h (h,0) y?a?x?h?2?k 开口向上 x?h (h,k) 当a?0时 y?ax2?bx?c x??b2开口向下 2a (?b4ac?b2a，4a) 11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y?a?x?h?2?k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

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2 （2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).

2 （3）抛物线与x轴的交点

2 二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两

2个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横

坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.

（5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程组

22y?kx?ny?ax?bx?c2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时

?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

0?，B?x2，0?，由于x1、x2是 （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1，2方程ax?bx?c?0的两个根，故

2bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?24cb2?4ac??b??4x1x2???????

aaa?a?2第二部分 典型习题

１.抛物线y＝x＋2x－2的顶点坐标是 （ D ）

A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）

Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0

2

AE

FDC

B第２,３题图 第4题图