中考数学二次函数知识点归纳及相关题 下载本文

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二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分 基础知识

1.定义:一般地,如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax的性质

(1)抛物线y?ax的顶点是坐标原点,对称轴是y轴. (2)函数y?ax的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax(a?0). 3.二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 4.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成:y?a?x?h?22222222b4ac?b2?k的形式,其中h??,k?.

2a4a22225.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①y?ax;②y?ax?k;③y?a?x?h?;④y?a?x?h??k;

2⑤y?ax?bx?c.

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向:当a?0时,开口向上;当a?0时,开口向下;

a相等,抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地,y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4ac?b2bb?4ac?b2?2(?,) (1)公式法:y?ax?bx?c?a?x?,∴顶点是,对称轴是直线x??. ??2a4a2a2a4a?? (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线

22x?h.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对

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称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线y?ax?bx?c中,a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小,这与y?ax中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线

222x??bbb,故:①b?0时,对称轴为y轴;②?0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③?0(即a、2aab异号)时,对称轴在y轴右侧.

(3)c的大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点的位置.

当x?0时,y?c,∴抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点(0,c): ①c?0,抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴;③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 ba?0. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y?ax2 x?0(y轴) (0,0) y?ax2?k x?0(y轴) (0, k) y?a?x?h?2 当a?0时 x?h (h,0) y?a?x?h?2?k 开口向上 x?h (h,k) 当a?0时 y?ax2?bx?c x??b2开口向下 2a (?b4ac?b2a,4a) 11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式:y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. (2)顶点式:y?a?x?h?2?k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

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2 (2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).

2 (3)抛物线与x轴的交点

2 二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两

2个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点???0?抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切; ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横

坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.

(5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点,由方程组

22y?kx?ny?ax?bx?c2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时

?l与G只有一个交点;③方程组无解时?l与G没有交点.

0?,B?x2,0?,由于x1、x2是 (6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1,2方程ax?bx?c?0的两个根,故

2bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?24cb2?4ac??b??4x1x2???????

aaa?a?2第二部分 典型习题

1.抛物线y=x+2x-2的顶点坐标是 ( D )

A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示,则下列结论正确的是( C )

A.ab>0,c>0 B.ab>0,c<0 C.ab<0,c>0 D.ab<0,c<0

2

AE

FDC

B第2,3题图 第4题图