【解析】 我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在

A点，另一只在过A的直径另一直径端点B，

所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m＋

1圈； 21)＝48m＋24 2因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同， 所以30n＝48m＋24；

即5n＝8m＋4，有不定方程知识，解出有n＝4，m＝2， 所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。

【例 18】 （难度等级 ※※※※※）如图所示，甲沿长为400米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆

八字形跑步(图中给出跑动路线的次序：1?2?3?4?1?LL）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒3米和5米，问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。

A143B2

【解析】 从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在A、B两点处相遇（本题中，虽然在B处时两人都是顺

16

时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）．

从A到B，在大圆周上是半个圆周，即200米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是200米．两人的速度之比为3:5，那么两人跑200米所用的时间之比为5:3．设甲跑200米所用的时间为5个时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位．根据题意可知，1个时间单位为

200?3?5?40秒． 3可以看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在A点或B点，而且是奇数倍时在B点，是偶数倍时在A点；乙跑的时间是3个时间单位的整数倍时，乙才可能在A点或B点，同样地，是奇数倍时在B点，是偶数倍时在A点．

要使甲、乙在A、B两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍（由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是15个时间单位、30个时间单位、45个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后，也就是说，出发后

40?45?600秒两人第三次相遇． 3也可以画表如下： 甲 乙 A 0 0 B 5 3 A 10 6 B 15 9 A 20 12 B 25 15 A 30 18 B 35 21 A 40 24 B 45 27 A 30 B 33 A 36 B 39 A 42 B 45 从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在B点，经过30个时间单位后两人同在A点，经过45个时间单位后两人同在B点，这是两人第三次相遇．

【例 19】 （难度等级 ※※※※）三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬

虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?

A123B

17

【解析】 根据题意，甲爬虫爬完半圈需要210?2?20?5.25分钟，乙爬虫爬完半圈需要210?2?15?7分

钟．由于甲第一次爬到1、2之间要5.25分钟，第一次爬到2、3之间要10.5分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处．

由于甲第一次爬到2、3之间要10.5分钟，第二次爬到1、2之间要15.75分钟，乙第一次爬到1、2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处．

当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了20?14?280米，210?2?210?280?35(米)，所以甲在距1、2交点35米处，乙在1、2交点上，还需要35?(20?15)?1(分钟)相遇，所以第二次相遇时，两只爬虫爬了14?1?15分钟．

所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了20?15?300厘米．

【例 20】 （难度等级 ※※※※※）从花城到太阳城的公路长12公里．在该路的 2千米处有个铁道路口，

是每关闭 3分钟又开放 3分钟的．还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2分钟红灯后就亮 3分钟绿灯．小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟？

【解析】 画出反映交通灯红绿情况的 s t? 图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可

以是 0.5 千米／分钟，此时恰好经过第 6千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳城最快需要 24分钟．

18