多次相遇和追及问题详解 下载本文

【解析】 我们知道,大小圆只有一个公共点(内切),而在圆上最远的两点为直径两端,所以当一只甲虫在

A点,另一只在过A的直径另一直径端点B,

所以在小圆甲虫跑了n圈,在大圆甲虫跑了m+于是小圆甲虫跑了30n,大圆甲虫跑了48(m+

1圈; 21)=48m+24 2因为速度相同,所以相同时内路程相同,起点相同, 所以30n=48m+24;

即5n=8m+4,有不定方程知识,解出有n=4,m=2, 所以小甲虫跑了2圈后,大小甲虫相距最远。

【例 18】 (难度等级 ※※※※※)如图所示,甲沿长为400米大圆的跑道顺时针跑步,乙则沿两个小圆

八字形跑步(图中给出跑动路线的次序:1?2?3?4?1?LL)。如果甲、乙两人同时从A点出发,且甲、乙二人的速度分别是每秒3米和5米,问两人第三次相遇的时间是出发后 秒。

A143B2

【解析】 从图中可以看出,甲、乙两人只有可能在A、B两点处相遇(本题中,虽然在B处时两人都是顺

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时针,但是由于两人的跑道不同,因此在此处的相遇不能看作是追及).

从A到B,在大圆周上是半个圆周,即200米;在小圆周上是整个小圆圆周,也是200米.两人的速度之比为3:5,那么两人跑200米所用的时间之比为5:3.设甲跑200米所用的时间为5个时间单位,则乙跑200米所用的时间为3个时间单位.根据题意可知,1个时间单位为

200?3?5?40秒. 3可以看出,只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时,甲才可能在A点或B点,而且是奇数倍时在B点,是偶数倍时在A点;乙跑的时间是3个时间单位的整数倍时,乙才可能在A点或B点,同样地,是奇数倍时在B点,是偶数倍时在A点.

要使甲、乙在A、B两点处相遇,两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍(由于3和5的奇偶性相同,所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇),可以是15个时间单位、30个时间单位、45个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后,也就是说,出发后

40?45?600秒两人第三次相遇. 3也可以画表如下: 甲 乙 A 0 0 B 5 3 A 10 6 B 15 9 A 20 12 B 25 15 A 30 18 B 35 21 A 40 24 B 45 27 A 30 B 33 A 36 B 39 A 42 B 45 从中可以看出,经过15个时间单位后两人同在B点,经过30个时间单位后两人同在A点,经过45个时间单位后两人同在B点,这是两人第三次相遇.

【例 19】 (难度等级 ※※※※)三个环行跑道如图排列,每个环行跑道周长为210厘米;甲、乙两只爬

虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发,甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动,乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动,已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米,甲、乙两爬虫第二次相遇时,甲爬虫爬了多少厘米?

A123B

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【解析】 根据题意,甲爬虫爬完半圈需要210?2?20?5.25分钟,乙爬虫爬完半圈需要210?2?15?7分

钟.由于甲第一次爬到1、2之间要5.25分钟,第一次爬到2、3之间要10.5分钟,乙第一次爬到2、3之间要7分钟,所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处.

由于甲第一次爬到2、3之间要10.5分钟,第二次爬到1、2之间要15.75分钟,乙第一次爬到1、2之间要14分钟,所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处.

当两只爬虫都爬了14分钟时,甲爬虫共爬了20?14?280米,210?2?210?280?35(米),所以甲在距1、2交点35米处,乙在1、2交点上,还需要35?(20?15)?1(分钟)相遇,所以第二次相遇时,两只爬虫爬了14?1?15分钟.

所以甲、乙两爬虫第二次相遇时,甲爬虫爬了20?15?300厘米.

【例 20】 (难度等级 ※※※※※)从花城到太阳城的公路长12公里.在该路的 2千米处有个铁道路口,

是每关闭 3分钟又开放 3分钟的.还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯,每亮 2分钟红灯后就亮 3分钟绿灯.小糊涂驾驶电动车从花城到太阳城,出发时道口刚刚关闭,而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯.已知电动车速度是常数,小糊涂既不刹车也不加速,那么在不违反交通规则的情况下,他到达太阳城最快需要多少分钟?

【解析】 画出反映交通灯红绿情况的 s t? 图,可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最大可

以是 0.5 千米/分钟,此时恰好经过第 6千米的红绿灯由红转绿的点,所以他到达太阳城最快需要 24分钟.

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