第二章 一元函数微分学

一、 导数

（一）、导数概念

1、导数的定义：

设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量在点x0处取得改变量?x时，函数f(x)取得相应的改变量，?y?f(x0??x)?f(x0)，如果当?x?0时，存在，即lim?y的极限?xf(x0??x)?f(x0)?y存在，则此极限值为函数f(x)在点x0的导数，?lim?x?0?x?0?x?x可记作f?(x0)或y?|x?x0或

dydf(x)或||

dxx?x0dxx?x02、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量?y?f(x??x)?f(x)

?yf(x??x)?f(x) ??x?x?yf(x??x)?f(x)③取极限y??f?(x)?lim ?lim?x?0?x?x?0?x②算比值

例1：根据定义求y?x在点x?3处的导数。 解：?y?(3??x)?3?6?x?(?x)

2222?y?6??x ?x?ylim?lim(6??x)?6 ?x?0?x?x?03、导数定义的几种不同表达形式

f(x0??x)?f(x0)?x?0① ?x?令x?x0??xf(x)?f(x0)②f?(x0)?lim

x?x0x?x0f(x)?f(x0)f?(x0)?lim?x?0 ?x?当x0＝0时f(x)?f(0)③f?(0)?lim

x?0xf?(x0)?lim4、左右导数的定义：

如果当?x?0(?x?0)时，

???y的极限存在，则称此极限为f(x)在点x0为右导数（左?x导数），记为f??(x0)［f??(x0)］

f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim?

?x?0?x?0?xx?x0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)f??(x0)?lim??lim?

?x?0?x?0?xx?x0f??(x0)?lim?5、函数f(x)在点x0处可导的充要条件：

f(x)在点x0的左、右导数都存在且相等

即f?(x0)存在?f??(x0)＝f??(x0)

?y?y?y【或lim存在?lim?】 ?lim??x?0?x?x?0?x?x?0?x6、函数的可导性与连续性的关系：

如果函数y?f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必连续，反之不一定成立。 即可导?连续

例如：y?|x|在x?0处连续，但不可导。 解：?y?|x|???x?0?x?0?x,x?0

??x,x?0lim?y?lim?x?0 连续

f(x)?f(x0)?x?0?lim???1

?x?0?x?0xxf(x)?f(x0)x?0f??(x0)?lim??lim??1

x?0x?0xxf??(0)?f??(0) ?f(0)不存在

7、导数f?(x0)与导函数f?(x)之间的区别，联系是什么？

①区别：f?(x0)是数值，x0?(a,b),(x0是取定的)；f?(x)是函数x?(a,b),(x是任意一

又?f??(x0)?lim?点）； ②联系：f?(x)|x?x0?f?(x0)

注：导函数f?(x)简称导数

8、导数的物理意义和几何意义？ ① 物理意义：瞬时变化率

因变量相对自变量的瞬时变化率

②几何意义：曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。此时曲线y?f(x)过点

(x0,f(x0))处的切线方程：y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

法线方程：y?f(x0)?例2、根据定义求y?解：?y?1(x?x0) (f?(x0)?0) ?f(x0)x的导数

x??x?x

x??x?x?yx??x?x11?lim?lim?lim? ?x?0?x?0?x?x?0?x?0?x?x(x??x?x)x??x?x2xlim因此(x)??

12x 或

d(x)1 ?dx2x同理可推导：y?x y??nxnn?1

例3、根据定义求y?sinx的导数

?ysin(x??x)?sinx?lim??lim?x?0?x?x?0?x?0?x?x?xcos(x?)sin22?cosx ??lim?x?0?x2因此(sinx)??cosx

同理可推导(cosx)???sinx 例4、根据定义求y?lnx的导数 y??lim?yln(x??x)?lnx?lim?lim?x?0?x?x?0?x?0?xx11?x?xx1?lim[ln(1?)]?lnex? ?x?0xxy??lim例5、求正弦曲线y?sinx在x?解：y??cosx k?y?当x?2cos(x??x?x)sin22 ?xln(1??x)1x?limln(1??x)?x

?x?0x?x?|x??33?1?cos?

32时的切线方程和法线方程。

?3331??(x?) 切线方程：y?223即3x?6y???33?0

3???2(x?) 23即：12x?6y?4??33?0

小结如何验证y?f(x)在x0处的可导性：

法线方程：y?⑴、用定义的三种表达形式之一；

⑵、也可以用左导数，右导数是否存在并且相等； ⑶、下列三种情况之一，函数在x0处肯定不可导： ①、函数在x0处不连续；

②、函数在x0处左导数和右导数至少有一个不存在； ③、函数在x0处左、右导数都存在，但不相等。

时，y?sin??3 2（二）、导数的基本公式与运算法则

1、导数的四则运算 ⑴、(u?v)??u??v? 例5、y?x?sinx?lnx 解：y??4x?cosx?

341 x