泛函分析单元知识总结与知识应用

一、单元知识总结

第七章、 度量空间和赋范线性空间 §1 度量空间

§1.1定义：若X是一个非空集合，d:X?X?R是满足下面条件的实值函

数，对于?x,y?X，有（1）d(x,y)?0当且仅当x（2）d(x,y)?d(y,x)；

?y；

（3）d(x,y)?d(x,z)?d(y,z)，则称d为X上的

度量，称(X,d)为度量空间。

例：1、设X是一个非空集合，当d(x,y)??1,当x?y，则(X,d?x,y?X，)??0,当x=y为离散的度量空间。

2、序列空间S ，d(x,y)?1|?i-?i|是度量空间

?ii=121+|?i-?i|?3、有界函数全体B(A) ，d(x,y)?sup|x(t)-y(t)|是度量空间

t?A4、连续函数C[a,b]，d(x,y)?max|x(t)-y(t)|是度量空间

a?t?b5、空间l，d(x,y)?[

2?(y-x)]kki=1?122是度量空间

§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §2.1收敛点列：设则称点列

?xn?是(X,d)中点列，如果?x?X，使nlimd(x,n)x=0??n，

?xn?是(X,d)中的收敛点列。

?xn?按欧氏距离收敛于x的充要条件为?1?i?n,各

?xk?x（一致）

f)?0?fn?f（依测度）

例：1、xn?R，点列依分量收敛。

2、C[a,b]中d(x,y)?03、可测函数空间M(X)中点列d(fn,稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令

M表示M的闭包，如果E?M,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。 即：M在E中稠密?对?x?E,??xn??M,s.t xn?x(n??) 例：1、n维欧氏空间R是可分空间；

2、坐标为有理数的全体是R的可数稠密子集；

?l3、是不可分空间。

nn

§3 连续映射

§3.1定义（用领域来描述）：对Tx0的每个?域V是TV?领域U，必有x0的某个??领

?U,其中TV表示V在映射T作用下的像。

?)中的映射，那么T在§3.2定理1 设T是度量空间(X,d)到度量空间(Y,dx0?X连续的充要条件为当xn?x0(n??)时，必有Txn?Tx0(n??)

定理2 度量空间X到Y中映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像T

§4 柯西点列和完备度量空间 §4.1定义：设X-1M是X中的开集。

?(X,d)是度量空间，

?xn?是X中点列，如果对???0，

X

?正整数N?N(?),使当n,m?N时，必有d(xn,xm)??，则称?xn?是

中的柯西点列，如果度量空间(X,d)中每个点列都在(X,d)中收敛，那么称

(X,d)是完备的度量空间。

例：1、C[a,b]是完备度量空间

2、l是完备度量空间 3、R是完备的度量空间

n2注意：1、Q全体按绝对值距离构成的空间不完备

2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列（完备空间中即可反之一定是）

3、实系数多项式全体P[a,b]，P[a,b]作为C[a,b]的子空间不是完备度量空间

§4.2定理1 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性） 注意：开子空间不完备。

§5 度量空间的完备化

§5.1定理1 （度量空间的完备化定理）设X?(X,d)是度量空间，那么一定

?)，使X与X?的某个稠密子空间W等距同??(X?,d存在一完备度量空间X?)也是一万倍度量空间，?在等距同构意义下是唯一的，即若(X?,d构，并且X?)与(X?)等距同构。?的某个稠密空间等距同构，则(X?,d?,d且X与X（其中：?( Tx, Ty) = d( x, y)，称X?(X,d)与(X?)等距同构。?,d若d） 用下图可形象表达这一关系：

定理1' 设X

?)，??(X?,d?(X,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间X?的稠密子空间。 使X为X§6 压缩映射原理及其应用

§6.1定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果??,0???1，

s.t?x,y?X，d(Tx,Ty)??d(x,y)，则称T是压缩映射。

§6.2定理1（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx?x，有且只有一个解）。 证明：存在性：1、构造

?xn?柯西列

2、xn?x

3、Tx?x

定理

2（隐函数存在定理）设函数

f(x,y)在带状域

y的偏导数fy'(x,y)。如a?x?,b???y中处处连续，且处处有关于??果?常数m和M，满足0?m?则方程f(x,y)?0在fy'(x,y)?M,m?M，

区间[a,b]上必有唯一的连续函数y??(x)作为解：

§7 线性空间

§7.1定义：设X是一非空集合，在X中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X中元素的乘法运算，满足下列条件：

（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元， （二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）?x?X，均有1x?满足这样性质的集合X称为线性空间。

例：1、Rn按自身定义的加法和数乘成线性空间

2、C[a,b]按自身定义的加法和数乘成线性空间 3、空间lp(p?0)按自身定义的加法和数乘成线性空间

§8 赋范线性空间和巴拿赫空间

§8.1定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对?x?X，都有确定的一个实数，记为

f(x,?(x))?0,x?[a,b]

x，

x与之对应，并且满足：

（非负性） 1ox?0，且x?0等价于x?0；

2o?x?|?|x其中?为任意实（复）数；

（三角不等式） 3ox?y?x?y,x,y?X，则称

x为向量x的范数，称X按范数x成为赋范线性空间

注意：1、任意赋范线性空间都是度量空间

2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间 3、

x是x的连续函数

重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。

2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数

的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构?范数等价） 例：1、R按范数x?|?1|2?...?|?n|2成巴拿赫空间

2、空间C[a,b]按范数

pnx?max|x(t)|成巴拿赫空间

a?t?b3、空间l是巴拿赫空间 §8.2定理2 L[a,b](p?1)按范数fpp?(?|f(t)|pdt)ab1p成巴拿赫空间

总而言之，赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。

第八章 有界线性算子和连续线性泛函 §1 有界线性算子和线性泛函的定义

§1.1定义：设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对?x,y?D及数?，有T(x?y)?Tx?Ty，

T(?x)??Tx，则称T为D到Y中的线性算子，其D称为T的定义域，记为

D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，就

称T为实（或复）线性泛函。

例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子