泛函分析部分知识总结 下载本文

注意:1、n维线性空间上线性泛函与向量(?1,?2,?,?n)相对应。

2、在有限维空间上,当基选定后,线性算子与矩阵是相对应的 §1.2定义:T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子,称

TxT?supxx?0x?D(T)为算子T在D(T)上的范数。

§1.3 定理1 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子,则T为有界算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。

这一定理说明,对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。 定理2 设X是赋范线性空间,函的充要条件为

f是X上线性泛函,那么

f是X上连续泛

f的零空间N(f)是X中的闭子空间。

注意:1、若T有界? 2、

T??

T???Tx?Tx3、若T有界? Tx?Tx

§2 有界线性算子空间和共轭空间

§2.1定义:设X是赋范线性空间,令X'表示X上连续线性泛函全体所成的空间,称为X的共轭空间。

§2.2定理1 当Y是巴拿赫空间时,B(X?Y)也是巴拿赫空间 定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间

例:1、l的共轭空间为l有界序列全体,即(l1)' 2、xn?X,x?X,且xn连续

3、设A?B(Z则AB为线性算子

1??l?,但(l?)'?l1

?x,?f?X',则f(xn)?f(x),其中f,令(AB)x?Y),B?B(X?Z)?A(Bx),x?X,

q4、其中1?1?1,(lq)'lp(1?p???)的共轭空间为l,

pq当p?2?lp,

时,(l2)'?l2

二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用

泛函分析是分析数学中“最年轻”的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论,有着广泛的应用。在这里我主要阐述一下压缩映射定理(Banach不动点定理)的应用。

定理 (压缩映射定理)设X是完备的度量空间,T是X上的压缩映射,那么T有且只有一个不动点(就是说,方程Tx?x,有且只有一个解)。 a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用

迭代法不动点原理:设映射在g(x)在[a,b]上有连续的一阶导数,且满足:(1)封闭性:对?x?[a,b],有g(x)?[a,b],

(2)压缩性: ?L?(0,1)使得对?x?[a,b] |g'(x)|?L,则g(x)在[a,b]上存在唯一的不动点X*,且对?x0?[a,b],Xk?g(Xk?1)收敛于X*,且有

LLk|X*?Xk?|X|k?Xk?1?|X1|?X0使用|Banach不动点原理对推论证明:

1?L1?L由原理内容可知,g(x)是[a,b]到[a,b]上的线性映射;R和[a,b]均完备;条件(2)等价于为g(x)压缩映射。

以上可知,必存在X*?[a,b],对?x0?[a,b],Xk?g(Xk?1)有Xk?X*且

LLk|Xk?Xk?1|?|X1?X0|。 X*?g(X*)且满足|X*?Xk|?1?L1?Lb、不动点原理在解决线性方程组解的存在问题时的应用

例4 线性代数方程组解的存在唯一性:设线性方程?aijxj?bi,i?1,2,?,n

j?1n若对每个i,?|?ij?aij|???1,则方程组唯一解存在。

j?1n证:在Rn中定义x?(x1,?,xn)与y?(y1,?yn)之距离?(x,y)?max|xi?yi|易证

1?i?n(Rn,?)是完备的距离空间。定义映射T:Rn?Rn,y?Tx由

yi??|?ij?aij|xj?bi,i?1,2,?n,j?1nn确定,记

yi?是

?|?j?1ij??,?,xn??),y??(y1?,?,yn?),y???(y1??,?,yn??),于?aij|xj?bi,x'?(x'1,?,x'n),x???(x1?(y?,y??)?max|yi??yi??|?max|?(?ij?aij)(x?j?x?j?)|1?i?n1?i?nj?1n?max|xi??yi?|max|?(?ij?aij)|???(x?,x??)

1?i?n1?i?nj?1n于是T是压缩映射,它有唯一不动点,所以方程方程组xi??(?ij?aij)xj?bi即

j?1n?axijj?1nj?bj的解唯一存在。

参考文献:[1] 王文静 《泛函分析的理论在数学其他学科中的点滴应用》 科教

纵横 2009年 第10期

[2] 孔慧英 梅智超 《现代数学思想概论》 [3] 闫大桂 严尚安 《工科研究生应用数学基础》

[4]石智,王军秋.泛函分析初步[M] .西安:陕西科学技术出版社, 2005.