注意：1、n维线性空间上线性泛函与向量(?1,?2,?,?n)相对应。

2、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的 §1.2定义：T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称

TxT?supxx?0x?D(T)为算子T在D(T)上的范数。

§1.3 定理1 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。

这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。 定理2 设X是赋范线性空间，函的充要条件为

f是X上线性泛函，那么

f是X上连续泛

f的零空间N(f)是X中的闭子空间。

注意：1、若T有界? 2、

T??

T???Tx?Tx3、若T有界? Tx?Tx

§2 有界线性算子空间和共轭空间

§2.1定义：设X是赋范线性空间，令X'表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为X的共轭空间。

§2.2定理1 当Y是巴拿赫空间时，B(X?Y)也是巴拿赫空间 定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间

例：1、l的共轭空间为l有界序列全体，即(l1)' 2、xn?X,x?X,且xn连续

3、设A?B(Z则AB为线性算子

1??l?，但(l?)'?l1

?x,?f?X',则f(xn)?f(x),其中f，令(AB)x?Y),B?B(X?Z)?A(Bx)，x?X，

q4、其中1?1?1，(lq)'lp(1?p???)的共轭空间为l，

pq当p?2?lp，

时，(l2)'?l2

二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用

泛函分析是分析数学中“最年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论，有着广泛的应用。在这里我主要阐述一下压缩映射定理（Banach不动点定理）的应用。

定理 （压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx?x，有且只有一个解）。 a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用

迭代法不动点原理：设映射在g(x)在[a,b]上有连续的一阶导数，且满足：（1）封闭性：对?x?[a,b]，有g(x)?[a,b]，

（2）压缩性： ?L?(0,1)使得对?x?[a,b] |g'(x)|?L，则g(x)在[a,b]上存在唯一的不动点X*，且对?x0?[a,b]，Xk?g(Xk?1)收敛于X*，且有

LLk|X*?Xk?|X|k?Xk?1?|X1|?X0使用|Banach不动点原理对推论证明：

1?L1?L由原理内容可知，g(x)是[a,b]到[a,b]上的线性映射；R和[a,b]均完备；条件（2）等价于为g(x)压缩映射。

以上可知，必存在X*?[a,b]，对?x0?[a,b]，Xk?g(Xk?1)有Xk?X*且

LLk|Xk?Xk?1|?|X1?X0|。 X*?g(X*)且满足|X*?Xk|?1?L1?Lb、不动点原理在解决线性方程组解的存在问题时的应用

例4 线性代数方程组解的存在唯一性：设线性方程?aijxj?bi,i?1,2,?,n

j?1n若对每个i，?|?ij?aij|???1，则方程组唯一解存在。

j?1n证：在Rn中定义x?(x1,?,xn)与y?(y1,?yn)之距离?(x,y)?max|xi?yi|易证

1?i?n(Rn,?)是完备的距离空间。定义映射T:Rn?Rn,y?Tx由

yi??|?ij?aij|xj?bi,i?1,2,?n,j?1nn确定，记

yi?是

?|?j?1ij??,?,xn??),y??(y1?,?,yn?),y???(y1??,?,yn??),于?aij|xj?bi,x'?(x'1,?,x'n),x???(x1?(y?,y??)?max|yi??yi??|?max|?(?ij?aij)(x?j?x?j?)|1?i?n1?i?nj?1n?max|xi??yi?|max|?(?ij?aij)|???(x?,x??)

1?i?n1?i?nj?1n于是T是压缩映射，它有唯一不动点，所以方程方程组xi??(?ij?aij)xj?bi即

j?1n?axijj?1nj?bj的解唯一存在。

参考文献：[1] 王文静 《泛函分析的理论在数学其他学科中的点滴应用》 科教

纵横 2009年 第10期

[2] 孔慧英 梅智超 《现代数学思想概论》 [3] 闫大桂 严尚安 《工科研究生应用数学基础》

[4]石智,王军秋.泛函分析初步[M] .西安:陕西科学技术出版社, 2005.