14．（2019年沙坪坝区模拟）如图1所示，已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为________.
2
图1
【答案】8 [由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，
y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2， |BK|＝|AK|－|AB|，∴x0＝2，
11
∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8.]
22
15．（2019年宁德模拟）如图2等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x＝2py(p>0)上，则抛物线E的方程为________．
22
2
2
图2
【答案】x＝4y [依题意知，|OB|＝83，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝43，y＝|OB|cos 30°＝12.因为点B(43，12)在抛物线E：x＝2py(p>0)上，所以(43)＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x＝4y.]
2
2
2
2
x2y2
16．（2019年开福区模拟）如图3，F1和F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦
ab点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
图3
【答案】3＋1 [如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
1
易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝3c，∴2a＝(3－1)c，从
2而双曲线的离心率e＝＝1＋3.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（2019年许昌模拟）(本小题满分10分)已知直线y＝x－4被抛物线y＝2mx(m≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．
【答案】 设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
??y＝2mx，由?
?y＝x－4，?
2
2
ca
2
得x－2(4＋m)x＋16＝0，
2
所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16， 所以弦长为(1＋k)(x1－x2) ＝2[4(4＋m)－4×16] ＝22(m＋8m). 由22(m＋8m)＝62. 解得m＝1或m＝－9.
经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．
所以所求抛物线的标准方程为y＝2x或y＝－18x.
2
2
22
2
2
y2
18．（2019年黄州区模拟）(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋2＝1(0＜b100b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
643
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值.
3
x2
?|PF1|＋|PF2|?＝100(当且仅当|PF|＝|PF|时取等号)，
【答案】(1)|PF1|·|PF2|≤??12
2??
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.
2
1643
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，
23
256
∴|PF1|·|PF2|＝， ①
3由题意知：
??|PF1|＋|PF2|＋2|PF1|·|PF2|＝4a，?222??|PF1|＋|PF2|－4c＝2|PF1|·|PF2|cos 60°，
2
2
2
2
∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c. ② 由①②得c＝6，∴b＝8.
19．（2019年韶关模拟）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切．
(1)求圆C的方程；
y24
(2)若椭圆＋2＝1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点
25b5P，使得△PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．
【答案】(1)依题意，设圆的方程为(x－a)＋y＝16(a>0)． ∵圆与y轴相切，∴a＝4， ∴圆的方程为(x－4)＋y＝16.
2
2
2
2
x2
y24
(2)∵椭圆＋2＝1的离心率为，
25b5
2
c25－b42
∴e＝＝＝，解得b＝9.
a55
x2
∴c＝a－b＝4， ∴F1(－4,0)，F2(4,0)， ∴F2(4,0)恰为圆心C，
(ⅰ)过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2(图略)，则∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90°，符合题意；
(ⅱ)过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4， 连接CP3，CP4(图略)，则∠F1P3F2＝∠F1P4F＝90°，符合题意． 综上，圆C上存在4个点P，使得△PF1F2为直角三角形．
22
x2y2220．（2019年赣州模拟）(本小题满分12分)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，
ab2
点(2，2)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为
M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
a2－b2242
【答案】(1)由题意，得＝，又点(2，2)在C上，所以2＋2＝1，两方程联
a2ab立，可解得a＝8，b＝4.
所以C的方程为＋＝1.
84
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k＋1)x＋4kbx＋2b－8＝0.
84故xM＝
2
2
x2y2
x2y2
222
x1＋x2
－2kbb＝2，yM＝k·xM＋b＝2. 22k＋12k＋1
yM11
所以直线OM的斜率kOM＝＝－，所以kOM·k＝－.
xM2k2
故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
21．（2019年内江模拟）(本小题满分12分)已知抛物线C：y＝2px过点P(1,1)．过点
2
?0，1?作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON?2???
交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点．
12
【答案】(1)由抛物线C：y＝2px过点P(1,1)，得p＝. 2所以抛物线C的方程为y＝x.
1?1?抛物线C的焦点坐标为?，0?，准线方程为x＝－. 4?4?
1
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，
2
2
y1)，N(x2，y2)．
1??y＝kx＋，2由?
??y2＝x，
得4kx＋(4k－4)x＋1＝0，
22
1－k1则x1＋x2＝2，x1x2＝2. k4k因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)． 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为?x1，
y2
x2
??
y2x1?
. x2??