(同步精品课堂)2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元检测 新人教A版选修2-1 下载本文

14.(2019年沙坪坝区模拟)如图1所示,已知抛物线C:y=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,点A在抛物线C上,且在x轴的上方,过点A作AB⊥l于B,|AK|=2|AF|,则△AFK的面积为________.

2

图1

【答案】8 [由题意知抛物线的焦点为F(2,0),准线l为x=-2,∴K(-2,0),设A(x0,

y0)(y0>0),∵过点A作AB⊥l于B,

∴B(-2,y0),∴|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2, |BK|=|AK|-|AB|,∴x0=2,

11

∴y0=4,即A(2,4),∴△AFK的面积为|KF|·|y0|=×4×4=8.]

22

15.(2019年宁德模拟)如图2等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x=2py(p>0)上,则抛物线E的方程为________.

22

2

2

图2

【答案】x=4y [依题意知,|OB|=83,∠BOy=30°.设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=43,y=|OB|cos 30°=12.因为点B(43,12)在抛物线E:x=2py(p>0)上,所以(43)=2p×12,解得p=2.故抛物线E的方程为x=4y.]

2

2

2

2

x2y2

16.(2019年开福区模拟)如图3,F1和F2分别是双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两个焦

ab点,A和B是以O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为________.

图3

【答案】3+1 [如图,连接AF1,由△F2AB是等边三角形,知∠AF2F1=30°.

1

易知△AF1F2为直角三角形,则|AF1|=|F1F2|=c,|AF2|=3c,∴2a=(3-1)c,从

2而双曲线的离心率e==1+3.]

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(2019年许昌模拟)(本小题满分10分)已知直线y=x-4被抛物线y=2mx(m≠0)截得的弦长为62,求抛物线的标准方程.

【答案】 设直线与抛物线的交点为(x1,y1),(x2,y2).

??y=2mx,由?

?y=x-4,?

2

2

ca

2

得x-2(4+m)x+16=0,

2

所以x1+x2=2(4+m),x1x2=16, 所以弦长为(1+k)(x1-x2) =2[4(4+m)-4×16] =22(m+8m). 由22(m+8m)=62. 解得m=1或m=-9.

经检验,m=1或m=-9均符合题意.

所以所求抛物线的标准方程为y=2x或y=-18x.

2

2

22

2

2

y2

18.(2019年黄州区模拟)(本小题满分12分)已知F1,F2分别为椭圆+2=1(0<b100b<10)的左、右焦点,P是椭圆上一点.

(1)求|PF1|·|PF2|的最大值;

643

(2)若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面积为,求b的值.

3

x2

?|PF1|+|PF2|?=100(当且仅当|PF|=|PF|时取等号),

【答案】(1)|PF1|·|PF2|≤??12

2??

∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.

2

1643

(2)S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sin 60°=,

23

256

∴|PF1|·|PF2|=, ①

3由题意知:

??|PF1|+|PF2|+2|PF1|·|PF2|=4a,?222??|PF1|+|PF2|-4c=2|PF1|·|PF2|cos 60°,

2

2

2

2

∴3|PF1|·|PF2|=400-4c. ② 由①②得c=6,∴b=8.

19.(2019年韶关模拟)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上,半径为4的圆C位于y轴右侧,且与y轴相切.

(1)求圆C的方程;

y24

(2)若椭圆+2=1的离心率为,且左、右焦点为F1,F2.试探究在圆C上是否存在点

25b5P,使得△PF1F2为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由.

【答案】(1)依题意,设圆的方程为(x-a)+y=16(a>0). ∵圆与y轴相切,∴a=4, ∴圆的方程为(x-4)+y=16.

2

2

2

2

x2

y24

(2)∵椭圆+2=1的离心率为,

25b5

2

c25-b42

∴e===,解得b=9.

a55

x2

∴c=a-b=4, ∴F1(-4,0),F2(4,0), ∴F2(4,0)恰为圆心C,

(ⅰ)过F2作x轴的垂线,交圆于点P1,P2(图略),则∠P1F2F1=∠P2F2F1=90°,符合题意;

(ⅱ)过F1可作圆的两条切线,分别与圆相切于点P3,P4, 连接CP3,CP4(图略),则∠F1P3F2=∠F1P4F=90°,符合题意. 综上,圆C上存在4个点P,使得△PF1F2为直角三角形.

22

x2y2220.(2019年赣州模拟)(本小题满分12分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为,

ab2

点(2,2)在C上.

(1)求C的方程;

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为

M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

a2-b2242

【答案】(1)由题意,得=,又点(2,2)在C上,所以2+2=1,两方程联

a2ab立,可解得a=8,b=4.

所以C的方程为+=1.

84

(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将y=kx+b代入+=1,得(2k+1)x+4kbx+2b-8=0.

84故xM=

2

2

x2y2

x2y2

222

x1+x2

-2kbb=2,yM=k·xM+b=2. 22k+12k+1

yM11

所以直线OM的斜率kOM==-,所以kOM·k=-.

xM2k2

故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

21.(2019年内江模拟)(本小题满分12分)已知抛物线C:y=2px过点P(1,1).过点

2

?0,1?作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON?2???

交于点A,B,其中O为原点.

(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A为线段BM的中点.

12

【答案】(1)由抛物线C:y=2px过点P(1,1),得p=. 2所以抛物线C的方程为y=x.

1?1?抛物线C的焦点坐标为?,0?,准线方程为x=-. 4?4?

1

(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,

2

2

y1),N(x2,y2).

1??y=kx+,2由?

??y2=x,

得4kx+(4k-4)x+1=0,

22

1-k1则x1+x2=2,x1x2=2. k4k因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1). 直线ON的方程为y=x,点B的坐标为?x1,

y2

x2

??

y2x1?

. x2??