集合论与图论习题册
软件基础教研室
刘 峰
2015.02
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第一章 集合及其运算
P8习题
1. 写出方程x2?2x?1?0的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假
a)对每个集A，??A； b)对每个集A，??A； c)对每个集A，A?{A}； e)对每个集A，A?A； g)对每个集A，A?2A； i)对每个集A，{A}?2A； k)对每个集A，??2A；
d)对每个集A，A?A； f)对每个集A，A?{A}；
h)对每个集A，A?2A；
j)对每个集A，{A}?2A；
l)对每个集A，??2A；
m)对每个集A，A?{A}； o){?}中没有任何元素；
n) ??{?}；
p)若A?B，则2A?2B
q)对任何集A，A?{x|x?A}； r)对任何集A，{x|x?A}?{y|y?A}； s)对任何集A，y?A?y?{x|x?A}； t)对任何集A，{x|x?A}?{A|A?A}。 答案：
3.设有n个集合A1,A2,?,An且A1?A2???An?A1，试证：A1?A2???An。
4.设S?{?,{?}}，试求2S？
5.设S恰有n个元素，证明2S有2n个元素。
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P16习题 6.设A、B是集合，证明:(A\\B)?B?(A?B)\\B?B??。
7.设A、B是集合，试证A???B?A?B。
9.设A，B，C为集合，证明：A\\(B?C)?(A\\B)\\C。 10.设A，B，C为集合，证明：(A?B)\\C?(A\\C)?(B\\C)。 11.设A，B，C为集合，证明：(A?B)\\C?(A\\C)?(B\\C)。
12.设A，B，C都是集合，若A?B?A?C且A?B?B?C，试证B=C。
15.下列命题是否成立？说明理由（举例）。
(1)(A\\B)?C?A\\(B\\C)；(2)A?(B\\C)?(A?B)\\C； (3)A\\(B?C)?(A?B)\\B。（答案：都不正确）
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16．下列命题哪个为真？ 答案：_________ a)对任何集合A,B,C，若A?B?B?C，则A=C。 b)设A,B,C为任何集合，若A?B?A?C，则B=C。
c)对任何集合A,B，2A?B?2A?2B。 d)对任何集合A,B，2A?B?2A?2B。 e)对任何集合A,B，2A\\B?2A\\2B。 f)对任何集合A,B，2A?B?2A?2B。 17．填空：设A,B是两个集合。
a)x?A?B?________________； b)x?A?B?_________________ c)x?A\\B?_________________； d)x?A?B?_________________。 18．设A，B，C为三个集合，下列集合表达式哪一个等于A\\(B?C)？答案：____
（a）(A\\B)?(A\\C)；（b）(A?B)\\(A?C)；
（c）(A\\B)?(A\\C)；（d）(A?B)\\(A?C)；（e）(A?B)?(A?C)。
P20习题
20．设A,B,C为集合，并且A?B?A?C，则下列断言哪个成立？
(1)B?C；(2)A?B?A?C；(3)A?BC?A?CC；(4)AC?B?AC?C。 答案：
21．设A,B,C为任意集合，化简
(A?B?C)?(AC?B?C)?(A?BC?C)?(A?B?CC)?(A?B?C)?(A?B?C)?(A?B?C)
CCCCCC
P25习题
24．设A?{a,b,c},B?{e,f,g,h},C?{x,y,z}。求A?B,B?A,A?C,A2?B。
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25．设A,B为集合，试证：A×B＝B×A的充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1）A??；（2）B??；（3）A?B。
26．设A,B,C,D为任四个集合，证明：(A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D)
29．设A,B,C是三个任意集合，证明：A?(B?C)?(A?B)?(A?C)。
30．设A,B为集合，下列命题哪些为真？
（1）(x,y)?A?B?x?A且y?B； （2）(x,y)?A?B?x?A或y?B； （3）2A?B?2A?2B； （4）若A?C?B?C，则A?B； （5）若A?C?B?C,C??，则A?B。 答案：______ 31．设A有m个元素，B有n个元素，则A×B是多少个序对组成的？A×B有多
少个不同的子集？ 答案：_______ 32．设A,B是两个集合，B??，试证：若A?B?B?B，则A?B。
P33习题
33．设A,B是两个有限集，试求22A?B??
34.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。问此班中至少有百分之几
的学生正同时学德文和法文？
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