第二章 映射习题
P39习题
1. 设A，B是有穷集，A?m,B?n。则
（1）计算AB； （2）从A到A有多少个双射？
P43习题
3. 证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。
5. 证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。
6.设a1,a2,?,an为1,2,3,?,n的任一排列，若
n
是奇数且
(a1?1)(a2?2)?(an?n)?0，则乘积为偶数。
P46习题
7.设f:X?Y，C,D?Y，证明f?1(C\\D)?f?1(C)\\f?1(D)
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8. 设f:X?Y，A,B?X，，证明f(A\\B)?f(A)\\f(B)。
10.设f:X?Y,A?X,B?Y。以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。
（1）（a）若f(x)?f(A)，则x未必在A中；（b）若f(x)?f(A)，则x?A；
（c）若f(x)?f(A)，则x?A； （d）若f(x)?f(A)，则x?Ac。 （2）（a）f(f?1(B))?B； （b）f(f?1(B))?B；
（c）f(f?1(B))?B； （d）f(f?1(B))?Bc。 （3）（a）f?1(f(A))?A； （b）f?1(f(A))?A；
（c）f?1(f(A))?A； （d）上面三个均不对。 （4）（a）f(A)??； （b）f(B)??；
（c）若y?Y,则f?1(y)?x； （d）若y?Y,则f?1(y)?x。
P50习题
15. 设X?{a,b,c},Y?{0,1},Z?{2,3},f:X?Y,f(a)?f(b)?0，
f(c)?1;g:Y??，g(0)?2,g(1)?3，试求g?f。
P55习题
17．设N?{1,2,3,?}，试构造两个映射f和g：N?N，使得
（1）fg?IN，但gf?IN；（2）gf?IN，但fg?IN。
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18.设f:X?Y则
（1）若存在唯一的一个映射g:Y?X，使得gf?IX，则f是可逆的吗？ （2）若存在唯一的一个映射g:Y?X，使得fg?IY，则f是可逆的吗？
20. 是否有一个从X到X的一一对应f，使得f?f?1，但f?IX？
P63习题
?12345??12345??1?121.设?1???，?2＝??，求?1?2,?2?1,?1,?2。
?43215??32514?
?123456789?22.将置换??分解成对换的乘积。
?791652348?
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第三章 关系习题
P86习题
1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？
2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的 二元关系？
3.设R，S是X上的二元关系，下列命题哪些成立：
a)若R与S是自反的，则R?S,R?S分别也是自反的； b) 若R与S是对称的，则R?S,R?S分别对称的； c) 若R与S是传递的，则R?S也是传递的；
d) 若R与S不是自反的，则R?S也不是自反的；
e) 若R与S是反自反的，则R?S,R?S也是反自反的； f) 若R是自反的，则Rc也是反自反的； g) 若R与S是传递的，则R\\S是传递的。
答案：________________________________________________
4.实数集合上的“小于”关系?是否是反自反的？集合X的幂集上的“真包含”关系?是否是反自反的？为什么？
5.设R、S是X上的二元关系。证明：
（1）(R?1)?1?R； （2）(R?S)?1?R?1?S?1； （3）(R?S)?1?R?1?S?1； （4）若R?S，则R?1?S?1；
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6．设R是X上的二元关系，证明：R?R?1是对称的二元关系。
7．设R为X上的是反自反的和传递的二元关系,证明：R是反对称的。
P92习题
9.“父子“关系的平方是什么关系？ 答案：_____________
11.设R与S为X上的任两个二元关系，下列命题哪些为真？ 答案：_______
a）若R,S都是自反的，则R?S也是自反的； b）若R,S都是对称的，则R?S也是对称的； c）若R,S都是反自反的，则R?S也是反自反的； d）若R,S都是反对称的，则R?S也是反对称的； e）若R,S都是传递的，则R?S也是传递的。
12．设R1是A到B，R2和R3是B到C的二元关系，则一般情况下：
R1?(R2\\R3)?(R1?R2)\\(R1?R3)。
但有人声称等号成立，他的证明如下：设(a,c)?R1?(R2\\R3)，则?b?X，使得(a,b)?R1且(b,c)?R2\\R3。于是(b,c)?R2且(b,c)?R3。从而(a,c)?R1?R2且
(b,c)?R1?R3，所以(a,c)?(R1?R2)\\(R1?R3)，即R1?(R2\\R3)?(R1?R2)\\(R1?R3)。同理可证相反的包含关系成立，故等式成立，这个证明错在什么地方？
13.设R，S是X上的满足R?S?S?R的对称关系，证明R?S?S?R。
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