谢安在寒冷的雪天举行家庭聚会，给子侄辈的人讲解诗文。不久，雪下得大了，太傅高兴地说：“这纷纷扬扬的白雪像什么呢？”他哥哥的长子谢朗说：“在空中撒盐差不多可以相比。”另一个哥哥的女儿说：“不如比作柳絮凭借着风飞舞。”太傅大笑起来。她就是谢奕的女儿谢道韫，左将军王凝之的妻子。第八节 第二课时 最值、范围、证明问题

课时作业 A组——基础对点练

y2x2

1．已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.

ab(1)求椭圆C1的方程；

(2)设点P在抛物线C2：y＝x＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP2

的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．

?b＝1，解析：(1)由题意，得?

?b2

2·从而???

a＝2，

??a＝1.

??

b＝1.

因此，所求的椭圆Cy2

2

1的方程为4

＋x＝1.

(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2

＋h)， 则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x＝t＝2t. 直线MN的方程为：

y＝2tx－t2＋h.

将上式代入椭圆C1的方程中，得 4x2

＋(2tx－t2

＋h)2

－4＝0，

即4(1＋t2

)x2

－4t(t2

－h)x＋(t2

－h)2

－4＝0.① 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点， 所以①式中的

Δ4

2

2

1＝16[－t＋2(h＋2)t－h＋4]>0.② 设线段MN的中点的横坐标是x3，

则xx1＋x2tt2－h3＝2＝＋t2. 设线段PA的中点的横坐标是xt＋1

4，则x4＝2

. 由题意，得x3＝x4， 即t2

＋(1＋h)t＋1＝0.③ 由③式中的

Δ2

2＝(1＋h)－4≥0，得h≥1，或h≤－3. 当h≤－3时，h＋2<0,4－h2

<0， 则不等式②不成立，所以h≥1. 当h＝1时，代入方程③得t＝－1，

谢安在寒冷的雪天举行家庭聚会，给子侄辈的人讲解诗文。不久，雪下得大了，太傅高兴地说：“这纷纷扬扬的白雪像什么呢？”他哥哥的长子谢朗说：“在空中撒盐差不多可以相比。”另一个哥哥的女儿说：“不如比作柳絮凭借着风飞舞。”太傅大笑起来。她就是谢奕的女儿谢道韫，左将军王凝之的妻子。将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立． 所以，h的最小值为1.

x2y23

2．已知点A(0，－2)，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直

ab2

23

线AF的斜率为，O为坐标原点．

3(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 223

解析：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝3.

c3又＝ca3222

，所以a＝2，b＝a－c＝1. 2

故E的方程为＋y＝1.

4(2)当l⊥x轴时不合题意，

故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx－2代入＋y＝1得

4(1＋4k)x－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k－3)>0， 38k±24k－3即k>时，x1,2＝. 244k＋1

2

2

2

2

2

x2

2

x2

2

4k＋1·4k－3从而|PQ|＝k＋1|x1－x2|＝. 2

4k＋1

2

22

又点O到直线PQ的距离d＝2

k2＋1

，

2

144k－3

所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝. 224k＋1设4k－3＝t，则t>0，

2

S△OPQ＝

4t4

＝. t＋44

t＋

2t47

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，

t2所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝77

x－2或y＝－x－2. 22

3.如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是

谢安在寒冷的雪天举行家庭聚会，给子侄辈的人讲解诗文。不久，雪下得大了，太傅高兴地说：“这纷纷扬扬的白雪像什么呢？”他哥哥的长子谢朗说：“在空中撒盐差不多可以相比。”另一个哥哥的女儿说：“不如比作柳絮凭借着风飞舞。”太傅大笑起来。她就是谢奕的女儿谢道韫，左将军王凝之的妻子。|AP||DQ|xyAD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)

|AD||DC|ab上．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．

解析：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，

22

y1x1＋2

2＝

4

，2yy1

＝，＝， x＋2x1＋22－x4

2

y4yx＋2x2

从而有＝，整理得＋y＝1，即为椭圆E的方程．

2－xy412

(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0＝4－x0，

211

从而梯形ORMN的面积S＝(2＋x0)y0＝

24令t＝2＋x0，则2

3

4

－x0

2

＋x0

2

，

1344t－t， 4

3

2

令u＝4t－t，则u′＝12t－4t＝4t(3－t)， 当t∈(2,3)时，u′>0，u＝4t－t单调递增， 当t∈(3,4)时，u′<0，u＝4t－t单调递减，

33

所以当t＝3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为. 4

3

4

3

4

2

y2x26

4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C上的点到一

ab3

个焦点的距离的最小值为3－2. (1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围． 解析：(1)设椭圆的半焦距长为c， 6?c?＝，

则由题设有：?a3

??a－c＝3－2，

2

解得：a＝3，c＝2，∴b＝1， 故椭圆C的方程为＋x＝1.

3

(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．

y2

2