二次根式知识点归纳和题型归类

一、知识框图

二、知识要点梳理

知识点一、二次根式的主要性质：

1.； 2.； 3.

；

；

4. 积的算术平方根的性质：

5. 商的算术平方根的性质： 6.若

，则

.

.

知识点二、二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；

(3) 乘法公式的推

广：

2．二次根式的加减运算 先化简，再运算，

3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

一. 利用二次根式的双重非负性来解题（a?0（a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）

1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A、2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

； B、x； C、x2?1； D、x?1

（1） （2）?1 （3）2x?1 （4）

（5）3?x?1(6)

2x?1

.

（7）若

是 。

，则x的取值范围是 （8）若x?3?x?3，则x的取值范围

x?1x?13.若3m?1有意义，则m能取的最小整数值是 ；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

A4.当x为何整数时，

BCD有最小整数值，这个最小整数值为 。

25. 若2004?a?a?2005?a，则a?2004=_____________；若y?x?3?3?x?4，则x?y?

m2?9?9?m2?26．设m、n满足n?，则mn= 。

m?37．若m适合关系式3x?5y?2?m?2x?3y?m?x?199?y?199?x?y，求m的值． 8. 若三角形的三边a、b、c满足a?4a?4?b?3=0，则第三边c的取值范围是 9.已知△ABC的三边a，b，c满足a2?b?|c?1?2|?10a?2b?4?22，则△ABC为（ ） 10.若|4x?8|?x?y?m?0，且y?0时，则（ ） A、0?m?1 B、m?2

D、m?2

?a(a?b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解

?0(a?0)??a(a?0)?2C、m?2二．利用二次根式的性质a2=|a|=?题

1.已知x3?3x2＝－xx?3，则（ ） A.x≤0 B.x≤－3 Ｃ.x≥－3 D.－3≤x≤0 2.．已知a

3.若化简|1-x|-x2?8x?16的结果为2x-5则（ ） A、x为任意实数 B、1≤x≤4 C、x≥1 D、x≤4

4.已知a，b，c为三角形的三边，则(a?b?c)2?(b?c?a)2?(b?c?a)2= 5. 当-3

6、化简|x?y|?x2(x?y?0)的结果是（ ） A．y?2x B．y C．2x?y D．?y 7、已知：a?1?2a?a2=1，则a的取值范围是（ ）。A、a?0； B、a?1； C、a?0或1； D、

a?1

8、化简(x?2)?1的结果为（ ） A、2?x； B、x?2；C、?x?2x?2 D、?2?x

三．二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a）2=a（a≥0），即a2?|a|以及混合

运算法则） （一）化简与求值

51.把下列各式化成最简二次根式：（1）33 （2）412?402 （3）25m （4）x4?x2y2

82

2.下列哪些是同类二次根式：（1）75，1，12，2，1，3，1； （2）5a3b3c,

275010a3b2c3，

aab，a

bcc43.计算下列各题：

9a34a6bc25218（1）627?(?33) （2）12ab?；（3） （4） （5）－1? （6）??45b3c5a354242a2b2ab

?(?)c5c3

4.计算（1）23?31?8?112?150 （2）(19x3?1325x3y2

y3)?(4x125?4y3) 4xy 5．已知x6.

2?2xx?218x?10，则x等于（ ） A．4 B．±2 C．2 D．±4

1111＋＋＋…＋

1?22?33?499?100

（二）先化简，后求值： 1. 直接代入法：已知x?

2.变形代入法：

11yx22(7?5),y?(7?5), 求(1) x?y (2) ?

xy22x?（1）变条件：①已知：

的值

2，求x?x?1的值。 ②.已知:x=3?2,y?3?2，求3x2－5xy+3y2

3?13?23?222③已知15?x?19?x??2，求19?x?15?x ④已知x?a?1，求 x?2?4x?x

ax?2?4x?x2

（2）变结论：

①设3 =a，30 =b，则0.9 = 。②

③.已知x11?y2的结果为（ ） -y?m,则yy?2?1,y?2?1，求

x?y?3yx?xy?3xy ④若x?y?5?3,xy?15?3，求x?y的值。

x ⑤已知x?y?5，xy?3，（1）求?yx?yy的值 （2）求的值 xx?y

（3）同时变条件与结论 ： 已知： ，求

的值．

五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题

1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a，小数部分是b，则3a?b? 3.已知9+13与9?13的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值

a4.若a，b为有理数，且8+18+1=a+b2，则b= .

8六．二次根式的比较大小（1）

17?15和15?13

1200和23 （2）－56和?65 （3）5（4）设a=3?2, b?2?3,c?5?2, 则（ ）A. a?b?c B. a?c?b C. c?b?a D.

b?c?a

七．实数范围内因式分解： 1. 9x2－5y2 2. 4x4－4x2＋1 3. x4+x2－6

19. 已知：a?

20. 已知：x,y为实数，且y 21. 已知

11?1?10，求a2?2的值。

aax?1?1?x?3，化简：y?3?y2?8y?16。

x?3y?x2?9?x?3?2?0，求x?1的值。 y?1