【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，及两点之间线段最短的定理，本题难度适中．

23．（10分）（2016?威海）如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF． （1）求证：CB是⊙O的切线；

（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】（1）欲证明CB是⊙O的切线，只要证明BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO解决问题． （2）首先证明S阴=S扇形ODF，然后利用扇形面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G， ∵CE与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CE， ∴∠CDO=90°， ∵AD∥OC，

∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠DOC=∠BOC， 在△CDO和△CBO中，\\

，

∴△CDO≌△CBO， ∴∠CBO=∠CDO=90°， ∴CB是⊙O的切线．

（2）由（1）可知∠DOA=∠BCO，∠DOC=∠BOC， ∵∠ECB=60°，

∴∠DCO=∠BCO=∠ECB=30°， ∴∠DOC=∠BOC=60°， ∴∠DOA=60°， ∵OA=OD，

∴△OAD是等边三角形， ∴AD=OD=OF，∵∠GOF=∠ADO， 在△ADG和△FOG中，

，

∴△ADG≌△FOG， ∴S△ADG=S△FOG， ∵AB=6，

∴⊙O的半径r=3， ∴S阴=S扇形ODF=

=π．

【点评】本题考查切线的性质和判定、扇形的面积公式，记住切线的判定方法和性质是解决问题的关键，学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．

24．（12分）（2017?天山区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0），交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF，CE交于点G． （1）求抛物线解析式； （2）求线段DF的长； （3）当DG=

时，

①求tan∠CGD的值；

②试探究在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使∠EDP=45°？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，

请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可得到抛物线解析式；

（2）如图1，先求出C点坐标，再根据旋转的性质得到CD=DE，∠CDE=90°，再证明△OCD≌△HDE得到HD=OC=3，接着说明四边形OCFH为矩形得到HF=OC=3，然后利用勾股定理计算DF；

（3）①利用△CDE和△DFH都是等腰直角三角形得到∠DCE=45°，∠DFH=45°，于是有∠DFC=45°，则可证明△DCG∽△DFC，根据相似的性质得

=

，∠DGC=∠DCF，接着利用相似比可计算出CD=

，利用

∠DCF=∠2得到∠CGD=∠2，然后在Rt△OCD中求出∠2的正切值即可得到tan∠CGD的值；

②根据△DCG∽△DFC得到HD=OC=3，EH=OD=1，则E（4，1），取CE的中点M，如图2，利用线段的中点坐标公式得到M（2，2），根据等腰直角三角形的性质判断DP经过CE的中点M，接下来利用待定系数法求出直线DP的解析式为y=2x﹣2，然后解方程组

可得P点坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0），

∴，解得，

∴抛物线解析式为：y=﹣x+（2）当x=0时，y=﹣x2+

2

x+3；

x+3=3，则C（0，3），如图1，

∵CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE， ∴CD=DE，∠CDE=90°， ∵∠2+∠3=90°， 而∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠3， 在△OCD和△HDE中

，

∴△OCD≌△HDE， ∴HD=OC=3， ∵CF⊥BF，

∴四边形OCFH为矩形， ∴HF=OC=3， ∴DF=

=3

；

（3）①∵△CDE和△DFH都是等腰直角三角形，如图1， ∴∠DCE=45°，∠DFH=45°， ∴∠DFC=45°， 而∠CDG=∠FDC， ∴△DCG∽△DFC， ∴

=

，∠DGC=∠DCF，

即=，解得CD=，

∵CF∥OH， ∴∠DCF=∠2， ∴∠CGD=∠2， 在Rt△OCD中，OD=∴tan∠2=

=3，

=

=1，

∴tan∠CGD=3； ②∵OD=1， ∴D（1，0）， ∵△OCD≌△HDE， ∴HD=OC=3，EH=OD=1， ∴E（4，1），

取CE的中点M，如图2，则M（2，2）， ∵△DCE为等腰直角三角形，∠EDP=45°， ∴DP经过CE的中点M， 设直线DP的解析式为y=mx+n，

把D（1，0），M（2，2）代入得∴直线DP的解析式为y=2x﹣2，

，解得，

解方程组得或（舍去），

∴P点坐标为（，）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，能通过解方程组求抛物线与直线的交点坐标；会运用三角形全等的知识证明线段相等，利用相似比求线段的长．