小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

AB①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； SS两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

abCD如右图S1:S2?a:b

12③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD?S△BCD； 反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEDC AS1图⑴ 图⑵ S4S2O三、蝶形定理

S3任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

B①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造

BCBCa模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边ADS1形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积S2S4O对应的对角线的比例关系．

S3梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

①S1:S3?a2:b2 Bb22②S1:S3:S2:S4?a:b:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?2．

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

CAEAFDDBABACFGBCAGEC

BGC

①AD?AE?DE?AF；

②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么AS?ABO:S?ACO?BD:DC．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因EF为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称

O为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运

CD用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，B为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题

【例 1】 如图，正方形

ABCD的边长为6，AE?1.5，CF?2．长方形EFGH的面

积为 ．

_H _D_H _D_A_E

_G

_A

_E

_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33．

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘

米，那么长方形的宽为几厘米？

_ E_ A_ F

_ D

_ G

_ C _ B

_ F

_ D

_ C

_ A_ E_ B

_ G

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方

形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在

一起)．

∵在正方形ABCD中，S△ABG??AB?AB边上的高， ∴S△ABG?S的一半)

1S?SEFGB． 同理，△ABG21212ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

∴正方形ABCD与长方形

?8?8?10?6.4(厘米)．

EFGB面积相等． 长方形的宽

【例 2】 长方形ABCD的面积为

A36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任

意一点，问阴影部分面积是多少？

HDEGBFC【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

HDA

EGBFC 可得：S?EHB?S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC，而

SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36

1212

12 即S?EHB?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18； 而

S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF1212，

11111S?EBF??BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5．

22228 所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5

解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，

那么图形就可变成右图：

AD(H)EG

这样阴影部分的面积就是?DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

FCB1111111S阴影?SABCD?S?AED?S?BEF?S?CFD?36???36????36???36?13.5．

2222222

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边

二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．

ADA(P)DADPP

【解析】 （法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，

假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴

影三角形的面积分别占正方形面积的1和1，所以阴影部分的面积为

46BCBCBC1162?(?)?15平方厘米．

46（法2）连接PA、PC．

由于?PAD与?PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1，同理可知

4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1，所以阴

6影部分的面积为62?(1?1)?15平方厘米．

46

【例 3】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为

70，AB?8，

AD?15，四边形EFGO的面积为 ．

ADOEBFGC【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的

面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．

由于长方形ABCD的面积为15?8?120，所以三角形BOC的面积为

13?30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为120??70?20； 4411?又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120??????30，所以?24?120?四边形EFGO的面积为30?20?10．

另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积?三角形AFC面积?三角形BFD面积?白色部分的面积，而三角形AFC面积?三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部