经典小学奥数题型(几何图形) 下载本文

【例 12】 如下图,六边形ABCDEF中,AB?ED,AF?CD,BC?EF,且有AB平行

于ED,AF平行于CD,对角线FD垂直于BD,已知FD?24BC平行于EF,

厘米,BD?18厘米,请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米?

BACGABCFEDFED

【解析】 如图,我们将?BCD平移使得CD与AF重合,将?DEF平移使得ED与AB重

合,这样EF、BC都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD,它的面积与原六边形的面积相等,显然长方形BGFD的面积为24?18?432平方厘米,所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.

【例 13】 如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的中点,点D在BC上,且

BD:DC?1:2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于 .AA33EF312CDEBDAEFBDCFCB

S△ABFAES△ABFBD1??1, ??,【解析】 方法一:连接CF,根据燕尾定理,

S△CBFECS△ACFDC2

设S△BDF?1份,则S△DCF?2份,S△ABF?3份,S△AEF?S△EFC?3份,

如图所标

所以SDCEF?55S△ABC? 1212方法二:连接DE,由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?,

1121BFS△ABD1??, S△ADE?S△ADC??S△ABC?,所以

FES△ADE1223313131111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?,

223232122115S???S?而△CDE.所以则四边形的面积等于. DFEC△ABC32312【巩固】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,阴EC?2DE,F是DG的中点.

影部分的面积是多少平方厘米?

AFBGDECBBAA3F3G1DDEFx2y3yxCEG C【解析】 设S△DEF?1份,则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影?55S△BCD?1212平方厘米.

【例 14】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示).如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1,且AO?2,DO?3,那么CO的长度

3是DO的长度的_________倍.

AOBCBDAHODG 【解析】 在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无

外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件SABD:SBCD?1:3,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果.请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.

解法一:∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3,∴OC?2?3?6,∴

OC:OD?6:3?2:1.

解法二:作AH?BD于H,CG?BD于G.

111S?S?DOC, S?S∵?ABD?BCD,∴AH?CG,∴?AOD333C∴AO?1CO,∴OC?2?3?6,∴OC:OD?6:3?2:1.

3【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知, 求:⑴三角形BGC的面积;⑵AG:GC??

A2BC【解析】 ⑴根据蝶形定理,SBGC1G3D

BGC?1?2?3,那么S?6;

⑵根据蝶形定理,AG:GC??1?2?:?3?6??1:3.

【例 15】 如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,△CEF、△OEF、△ODF、

△BOE的面积依次是2、4、4和6.求:⑴求△OCF的面积;⑵求△GCEAOGD的面积.

FCBE【解析】 ⑴根据题意可知,△BCD的面积为2?4?4?6?16,那么△BCO和?CDO的

面积都是16?2?8,所以△OCF的面积为8?4?4;

⑵由于△BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为

8?6?2,

根据蝶形定理,EG:FG?S?COE:S?COF?2:4?1:2,所以

S?GCE:S?GCF?EG:FG?1:2,

那么S?GCE?

【例 16】 如图,长方形ABCD中,BE:EC?2:3,DF:FC?1:2,三角形DFG的面积

112S?CEF??2?. 1?233为2平方厘米,求长方形ABCD的面积.

AGDFCAGDFCBEB【解析】 连接AE,FE.

EDF:FC?1:2 ,

SDEF为

BE:EC?2:33111?(??)S长方形ABCD?S长方形ABCD. 532101S?S长方形ABCD,AG:GF?1:1?5:1,所以SAGD?5SGDF?10平方因为AED22101S?12S?S长方形ABCD,所以长方形厘米,所以AFD平方厘米.因为AFD6ABCD的面积是72平方厘米.

【例 17】 如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中

阴影部分的面积.

BCGAD

【解析】 因为M是AD边上的中点,所以AM:BC?1:2,根据梯形蝶形定理可以知

S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG?12(:1?2)(:1?2):22?1:2:2:4,设S△AGM?1份,则S△MCD?1?2?3 份,所以正方形的面积为1?2?2?4?3?12份,S阴影?2?2?4份,所以S阴影:S正方形?1:3,所以S阴影?1平方厘米.

M

【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,

三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是 平方厘米.

ADFB【解析】 连

EC接DE,根据题意可知BE:AD?1:2,根据蝶形定理得

2S梯形?(1?2)?9(平方厘米),S△ECD?3(平方厘米),那么

ABCD

S?12(平方厘米).

【例 18】 已知ABCD是平行四边形,BC:CE?3:2,三角形ODE的面积为

6平方厘

米.则阴影部分的面积是 平方厘米.

AODAODB【解析】 连接AC.

CEBCE

由于ABCD是平行四边形,BC:CE?3:2,所以CE:AD?2:3,

根据梯形蝶形定理,SCOE:SAOC:SDOE:SAOD?22:2?3:2?3:32?4:6:6:9,所以SAOC?6(平方厘米),SAOD?9(平方厘米),又SABC?SACD?6?9?15(平方厘米),阴影部分面积为6?15?21(平方厘米).

【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所

示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.

A9214BEC21DA9O4ECD

B