【分析】 连接AES?OCD．由于AD与

?S?OAE．

BC是平行的，所以

AECD也是梯形，那么

2根据蝶形定理，S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?4?9?36，故S?OCD?36， 所以S?OCD?6(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所

示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．

A8162BECBE16DA8O2CD

【解析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么

S?OCD?S?OAE．

S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?2?8?16，根据蝶形定理，故S?OCD2?16，

所以S?OCD?4(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED中，S?ADE?S12ABED1???16?8??12(平方厘米)， 2所以S?AOE?S?ADE?S?AOD?12?8?4(平方厘米)，

根据蝶形定理，阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米)．

【例 19】 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中

3块的面积分别

为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．

AE25O8DCD?5FBAE2O8C?FB

【解析】 连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以S?EOD?SFOC，又根据蝶形定

理，S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD，所以S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD?2?8?16，所以S?EOD?4(平方厘米)，S?ECD?4?8?12(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12?2?24平方厘米，四边形OFBC的面积为24?5?2?8?9(平方厘

米)．

【例 20】 如图，?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交

于K点．已知正方形DEFG的面积48，AK:KB?1:3，则?BKD的面积是多少？

DKBEFCBEAGDKAGMFC

【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在

梯形ADBC中，?BDK和?ACK的面积是相等的．而AK:KB?1:3，所以?ACK的面积是?ABC面积的1?1，那么?BDK的面积也是?ABC面积的1．

1?344由于?ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48．

那么?BDK的面积为48?1?12．

4【例 21】 下图中，四边形ABCD都是边长为

1的正方形，E、F、G、H分别是

AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分

nHDHD的面积之比是最简分数m，那么，(m?n)的值等于 ．

AAEGEG

【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观

察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．

如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．

左图中AEGD为长方形，可知?AMD的面积为长方形AEGD面积的1，所

4BFCBFC以三角形AMD的面积为12?1?1?1．又左图中四个空白三角形的面积是

248相等的，所以左图中阴影部分的面积为1?1?4?1．

82AHDAHDMEGENG

如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N． 可知EF∥AC且AC?2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1，所以三角形BEF 的面积为12?1?1?1，梯形AEFC的面积为1?1?3．

4248288BFCBFC在梯形AEFC中，由于EF:AC?1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：12:1?2:1?2:22?1:2:2:4，所以三角形EFN的面积为

311，那么四边形BENF的面积为1?1?1．而右图中四个空??81?2?2?4248246白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1?1?4?1．

63那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1:1?3:2，

23即m?3， n2那么m?n?3?2?5．

【例 22】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，

则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? ．

ADFBEGC 【解析】 设S△ADE?1份，根据面积比等于相似比的平方，

所以S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9， 因此S△AFG?4份，S△ABC?9份，

进而有S四边形DEGF?3份，S四边形FGCB?5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5

【巩固】如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长．

ADBEC

【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10

【巩固】如图， △ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，

AD?DF?FM?MP?PB，则

S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?ADEG

MF ． 【解析】 设S△ADE?1份，S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，因此

S△AFG?4份，进而有S四边形DEGF?3份，同理有

S四边形MNQP?7份，S四边形FGNM?5份，S四边形PQCB?9份．

NQCPB所以有

S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9

【例 23】 如图，已知正方形ABCD的边长为4，F

是BC边的中点，E是DC边上

的点，且DE:EC?1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG

ABABABGFGFGFD

【解析】 方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，

所以有AB:CM?BF:FC?1:1，因此CM?4，根据题意有CE?3，再根据另一个沙漏有，所以GB:GE?AB:EM?4:7S△ABG?4432S△ABE??(4?4?2)?4?71111AE,EFECDECMDEC．

方法二：连接

S△AEF，分别求S△ABF?4?2?2?4，?4?4?4?1?2?3?2?2?4?7，根据蝶形定理

4432S△ABE??(4?4?2)?． 4?71111S△ABF:S△AEF?BG:GE?4:7，所以S△ABG?

【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是

1，E、F是AB、AD的中

点， BF交EC于M，求?BMG的面积．

AEBIAFHGCFHDM

GCDEMB

【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而

FD:BC?FH:HC?1:2，

EB:CD?BG:GD?1:2所以CH:CF?GH:EF?2:3，

并得G、H是BD的三等分点，所以BG?GH，所以

2BG:EF?BM:MF?2:3，所以BM?BF，S?BFD5111?S?ABD??S2221213541． 30ABCD1?； 4又因为BG?1BD，所以S?BMG???S?BFD????31235 解法二：延长CE交DA于I，如右图，

可得，AI:BC?AE:EB?1:1，从而可以确定M的点的位置， BM:MF?BC:IF?2:3，BM?2BF，BG?1BD(鸟头定理)，

53 可得S?BMG??S?BDF???S

2153211534ABCD?1 30【例 25】 如图，ABCD为正方形，AM?NB?DE?FC?1cm且MN?2cm，请问四边

形PQRS的面积为多少？

DERSPAMNBQFCDERSPFCQNB AM 【解析】 (法1)由AB//CD，有MP?PC，所以PC?2PM，又MQ?MB，所以

QCECDC11111MQ?QC?MC，所以PQ?MC?MC?MC，所以SSPQR占SAMCF的

22366MN，