∴h(x)?h()??2ln2?4?12163?ln2??3lne?0， 16161a2即0?a?时，f()?0．……………………………………………………………7分

221a?ax2?x?a2（3）∵f'(x)??a?2?，g(x)??ax?x?a， 2xxx2211?1?4a1?1?4a令f'(x)?0得：x1?，x2?，由（2）知0?a?时，y?g(x)的对

22a2a称轴x?1?(1,??)，??1?4a2?0，g(0)??a?0， 2a∴x2?1，又x1x2?1，可得x1?1，

此时，f(x)在(0,x1)上单调递减，(x1,x2)上单调递增，(x2,??)上单调递减， 所以y?f(x)最多只有三个不同的零点,…………………………………………………10分 又∵f(1)?0，

∴f(x)在(x1,1)上递增，即x?[x1,1)时，f(x)?0恒成立，

a2a21a2a2根据（2）可知f()?0且0??所以?(x1,1)，即?(0,x1)

22822a2∴?x0?(,x1)，使得f(x0)?0，……………………………………………………12分

2由0?x0?x1?1，得

11?1，又f()??f(x0)?0,f(1)?0， x0x01. x0∴f(x)恰有三个不同的零点：x0,1,综上所述，y?f(x)恰有三个不同的零点．………………………………………………14分 【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想. 11、

?1??x?ak?0.......?22?2?12、解：（1）由题意得：?x?a?0............2分（全对2分，不全对最多1

?(x?ak)2?x2?a2......?3??分）

易知[1][3]成立时，[2]显然成立，所以只需解[1][3]。

由[3]得：2kx?a(1?k)......[4]......3分 当k?0时，由a?0知[4]无解；......4分

2a(1?k2) 所以k?0，x?，代入[1]得：

2ka(1?k2)(1?k2)(1?k2)(1?k2)?ak??k??k?0??0

2k2k2kk 即k(1?k)(1?k)?0......6分 ?k?(??,?1)?(0,1)......7分

（2）h?(x)?g(x)?kf(x)?x2?kx?2k2?4......8分

2 ??16?7k......9分

4747或者k?时，??0，h?(x)?0恒成立，77?h(x)在R上单调递增；..........10分当k??当?4747?k?时，??0，77

k?16?k2k?16?k2令h?(x)?0，得x1?,x2?........11分22当x?x1或者x?x2时，h?(x)?0,所以h(x)在(??,x1)和(x2,??)单调递增；同理，h(x)在(x1，x2)单调递减,.........13分?当k??4747或k?时，h(x)的递增区间为R;774747k?16?k2k?16?k2当??k?时，h(x)的递增区间为(??,),(,??);

7722k?16?k2k?16?k2递减区间为(,)..........14分2213、（1）解：当a?2时，由已知得f(x)?lnx?所以f'(1)?1?2?3，又因为f(1)?ln1?122，故f?(x)??2，………...… 2分

xxx2??2， 1所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y?2?3(x?1)， 即3x?y?5?0；…………………………………………………………... 5分 （2）解：由f(x)??x?2，得lnx?a??x?2，又x?(1,??)， x故a?xlnx?x2?2x． …………………………7分 设函数g(x)?xlnx?x?2x， 则g'(x)?lnx?x?21?2x?2?lnx?2x?1． ………….…..……… 8分 x因为x?(1,??)， 所以lnx?0，2x?1?0，

所以当x?(1,??)时，g'(x)?lnx?2x?1?0，…………………… 10分

故函数g(x)在(1,??)上单调递增．

所以当x?(1,??)时，g(x)?g(1)?1?ln1?1?2?1??1．. …….… 12分 因为对于任意x?(1,??)，都有f(x)??x?2成立， 所以对于任意x?(1,??)，都有a?g(x)成立．

所以a??1． ………………………………..……… 14分 14、解：（本小题满分14分）

x?2，易得f(x)的定义域为(0,??) …………1分 x12x?2?f'(x)??2?2 ……………2分

xxx?当x?(0,2)时，f?(x)?0，此时f(x)在(0,2)上单调递减；

当x?(2,??)时，f?(x)?0，此时f(x)在(2,??)上单调递增； …………3分

?当x?2时，f(x)取得极小值f(2)?ln2?2?f(x)的极小值为f(2)?ln2?2…4分

x12ax(2)?函数g(x)?f'(x)???2?(x?0)

6xx6xx3xx3(x?0)，设?(x)??(x?0) …………5分 令g(x)?0，得a??2122121x21∴?'(x)????(x?2)(x?2)

244当x?(0,2)时，??(x)?0，此时?(x)在(0,2)上单调递增；

（1）当时a?1，f(x)?lnx?当x?(2,??)时，??(x)?0，此时?(x)在(2,??)上单调递减； 所以x?2是?(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x?2也是?(x)的最大值点，

??(x)的最大值为?(2)?2，又?(0)?0，结合y??(x)的图像（如图），可知……6分 322① 当a?时，函数g(x)无零点； 332a?② 时，函数g(x)有且仅有一个零点； 32③当0?a?时，函数g(x)有两个零点； 2 3④a?0时，函数g(x)有且只有一个零点； ………………8分 综上所述，当a?22时，函数g(x)无零点；当a?或a?0时，函数g(x)有且仅332时，函数g(x)有两个零点. …………9分 3f(m)?f(n)?1恒成立，等价于f(m)?m?f(n)?n恒成立……10分 （3）对任意m?n?0,m?n有一个零点；当0?a?

设h(x)?f(x)?x?lnx?a(x?2)?x(x?0)等价于h(x)在(0,??)上单调递减 …11分 x12a?2?1?0在(0,??)恒成立 ………………12分 xx11111?a??x2?x??(x?)2?(x?0)恒成立 ………………13分

222281111?a?（对a?，h'(x)?0仅在x?时成立），?a的取值范围是[,??) 14分

288815、【解析】(Ⅰ)函数f?x?的定义域是???,a???a,???,…………………………1分 ?h'(x)?对f?x?求导得:f??x??ex?x?a?1??x?a?2,…………………2分

由f??x??0得x?a?1；由f??x??0得x?a或a?x?a?1,…………………4分 所以f?x?在???,a?,?a,a?1?上单调递减,在?a?1,???上单调递增.…………………5分

ea?2(Ⅱ)由(Ⅰ)得f??a?2??……………………………………6分

4ea?2a3?6a2?12a?7a?232??令得 e?a?6a?12a?7?0………① 44令a?2?t,则有e?t?1?0,……………………………8分

令h?t??et?t3?1,则h??t??et?3t2?0,……………………………9分

故h?t?是R上的增函数,又h?0??0,因此0是h?t?的唯一零点,即?2是方程①的唯一实数解, 故存在唯一实数a??2满足题设条件.…………………………………………………………10分

t3f??x?f??x?x?a?1x?a?1??kx?a?1可化为(Ⅲ)因为,故不等式?kx?a?1, f?x?x?af?x?x?a令x?a?t,则t?0,……………………………11分 且有kt?1?1?① 若t?0,则?kt?,即k??1 ………12分 t1t1,此时k?0； t22121?1?② 若0?t?1,则kt?2?,即k??2????1??1,此时k?1；

ttt?t?③ 若t?1,则kt?11,即k?2,此时k?1. tt故使不等式恒成立的k的取值范围是?1,???.………………………………………………14分