暑假精讲

奇数和偶数的表示方法： 偶数表示方法：如果我们用n表示整数，n=0，1，2，3，……那么2×n就表示偶数，简写成2n． 奇数表示方法：因为2n为偶数，比2n多1或少1的数为奇数．所以我们用2n+1或2n-1表示 奇数．

【例1】 有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意一刀，假设剪出偶数个断口．问：这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数？

分析：奇数．分成的线段数比断口数多1．

【例2】 有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有面码之和能否是1999？

分析：不可能．每张纸上的两个页码之和是奇数，20个奇数之和是偶数．

【例3】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……的排列规律:前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波契数列，在斐波契数列前2004个数中共有几个偶数？

分析：根据奇数，偶数交替变化的规律，可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶…这样的变化规律，所以2004个数有2004÷3=668个偶数.

【例4】 用数字1，3，0可以组成多少个奇数和偶数?

分析：因为偶数的个位是偶数，所以只有0可作个位数组成偶数；因为奇数的个位是奇数，所以只有1和3可作个位数组成奇数．偶数有：0，10，30，130，310共5个；奇数有：1，3，13，31，103，301共6个．注意0不可以作首位数．

【例5】 任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？

分析：不能．两数和为999，各位数相加时必定没有向上进位，又因为新三位数与原三位数只是三个数字的排列顺序不同，所以把两个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数，而9+9+9=27是奇数，矛盾．

【例6】 有12张卡片，其中有三张上面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7．问：能否从中选出五张，使它们上面的数字之和为20？为什么？

分析：不能．5个奇数的和是奇数，不可能等于20．

【例7】 在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?

分析：此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多1个．所以前8行中奇偶数一样，余下第9行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．

[拓展] 如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：a=5×3=15．问填入的81个数中是奇数多还是偶数多?

分析：奇数行奇数多1个偶数行全是偶数，显然偶数多得多．

【例8】 小明爷爷钓鱼回来，小明问：“爷爷您今天钓了多少鱼呀?”爷爷说：“我今天甩出鱼杆和提起鱼杆共100次，可是有17次提起鱼杆时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓了多少鱼呀?

分析：小明爷爷每甩出一次鱼杆都要收回来一次，所以甩出鱼杆次数和收回鱼杆次数相等．其总次数必为偶数，故可被2整除．于是收回鱼杆次数为100÷2=50(次)，收回鱼杆50次有17次没钓着鱼，所以共钓鱼50-17=33（条）.

奇数和偶数的运算性质

奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数；

奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数；

奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数

奇偶数加减法的几个常见结论．

结论1：任意个偶数的和是偶数．

我们根据偶数加法的性质，可以把任意个偶数两两结合在一起相加之后再相加，如果还多

1个就接着加．即：(偶数+偶数)+(偶数+偶数)+…+(偶数+偶数)=偶数+偶数+…+偶数=(偶

数+偶数)+…+偶数=偶数+偶数=偶数.

结论2：奇数个奇数的和为奇数．

假设有2n+1个奇数，那么我们把前面2n个奇数两两结合在一起相加，由奇数加法性质可

知，它们都是偶数，再把这些偶数加起来还是偶数，最后与剩下的一个奇数相加，所以结

果为奇数．

结论3：两个数的和加上这两个数的差，得到的一定是偶数

【例9】 1+2+3+4+5+6+7+…+99+100+99+98+97+96+……+7+6+5+4+3+2+1是奇数还是偶数？

分析：1-99都出现了2次因此是偶数，而100是偶数，所以这个和是偶数．

【例10】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．

分析：由结论3可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等于奇数1999．

【例11】 桌子上有11个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的6个，问能否经过若干次翻动，使得11个杯子的开口全都向下？

分析：不能，杯子要翻过来的翻奇数次，11个杯子都要翻过来，要把所有被子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动6个，那总次数是偶数，偶数不可能等于奇数，因此不能把11个杯子的开口全都向下．

【例12】 一次聚会时，大家互相握手，则握过奇数次手的人数必定是偶数.请你想一想为什么？

分析：两人握手一次，每人算一次就是2次，所以握手的总次数必定是偶数.和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，握手次数之和为偶数说明加数中有偶数个奇数，即握过奇数次手的人数是偶数.

附加内容

【附1】 甲，乙，丙三名选手参加长跑比赛．起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲与乙，甲与丙的位置次序共交换13次．比赛结果甲是第几名？

分析：注意到和奇数相邻的一定是偶数，和偶数相邻的一定是奇数甲每和乙丙交换一次位置次序，自己名次的奇偶性就发生一次变化变化了13次相当于变化一次，甲开始在第一，名次是奇数，变化一次后变为偶数名次只可能是1，2，3，这里面只有2是偶数，因此比赛结果甲是第2名．

【附2】 沿江有1，2，3，4，5，6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等．早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物．傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头．请说明甲、乙两船的航程不相等．

分析：以相邻两码头间的距离为单位，则乙船从1号码头出发又回到1号码头，其航程必为偶数个单位；甲船从1号码头出发，最终泊在6号码头，其航程必为奇数个单位．

大显身手

1. 用数字9，8，0可以组成多少个奇数和偶数？

分析：3个奇数9，89，809；8个偶数 0，8，80，90，98，980，890，908.

2. 两个自然数的乘积是奇数，那么这两个数的和是奇数还是偶数？请说明理由.

分析：偶数. 乘积是奇数则说明两个数都数奇数.

3. （古趣题）三十六口缸，分作九船装，只准装单，不准装双．问：怎样运走这些缸？

分析：根据奇数的运算性质知，9个奇数的和仍是奇数，36是偶数，所以不能.

4. 如果有9个人坐在3行3列的座位上，要想把这9个人同时调到各自的临座上（每个座位的前后左右位置上）．是否可能？

分析：不可能，因为奇数和偶数不相等

成长故事

有一天，著名科学家爱因斯坦先生被邀请作演讲嘉宾．他的司机对他开玩笑说：“我经常听到你在车中预备演讲，听得多了，我也可以一字不漏地背念出来．”爱因斯坦听罢就说：“那就好极了，我昨日整天都在做研究工作，疲倦得很，况且邀请我演讲的机构与我素未谋面，你大可替我演讲，我做你的司机好了．”演讲当晚，司机果然一字不漏地念出爱因斯坦惯说的演讲内容，令在场的人佩服不已，连坐在观众席最后排的爱因斯坦，也频频点头称是．可是，演讲完结后，突然有一位年青科学家，追问了一个颇为深入的问题，那当然是司机的演讲以外的资料，全场都等待着这位冒牌科学家的答复．出乎意料之外，他竟然气定神闲地开始回答说：“年青人，请恕我直言，你刚才的问题实在太简单，甚至可以说是个蠢问题，假如你不信的话，我可以证明给你看．这问题简单得连我的司机也懂得如何回答．”跟着，司机便邀请爱因斯坦上台作答，并且在掌声雷鸣之下离开会场．