第一章 质点运动学

课 后 作 业

1、一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为 a＝2＋6 x2 (SI)

如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．

解：设质点在x处的速度为v，

a?dvdvdx???2?6x2 2分 dtdxdtvx ?vdv??2?6x2dx 2分

00?? v?2x?x3??12 1分

2、一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式．

解： a?dv /dt?4t ， dv ?4t dt

vt?0dv??4tdt

0 v?2t2 3分

v?dx /d t?2t2

3、一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为

1S?bt?ct2 其中b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加速度与法向

2加速度大小相等时所经历的时间．

解： v?dS/dt?b?ct 1分

at?dv/dt?c 1分 an??b?ct?/R 1分

根据题意： at = an 1分

2即 c??b?ct?/R

2?dx??2tx00xt2dt

x?2 t3 /3+x0 (SI) 2分

解得 t?

Rb? 1分 cc- 1 -

4、如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度?与时间t的函数关系为??kt2 (k为常量)．已知t?2s时，质点P的速度值为32 m/s．试求t?1s时，质点P的速度与加速度的大小．

P O R

解：根据已知条件确定常量k

k?ω/t2?v/?Rt2??4rad/s2 1分 ??4t2, v?R??4Rt2

t?1s时， v = 4Rt2 = 8 m/s 1分 at?dv/dt?8Rt?16m/s2 1分 an?v2/R?32m/s2 1分

2 a?at2?an??1/2?35.8 m/s2 1分

5、一敞顶电梯以恒定速率v ?10 m/s上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率v0?20 m/s．试问： (1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？

解：(1) 球相对地面的初速度

v??v0?v?30 m/s 1分

v?2?45.9 m/s 1分 抛出后上升高度 h?2g离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m 1分 (2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度

1 vt?(v?v0)t?gt2 1分

22v t?0?4.08 s 1分

g

6、在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如图所

示．当人以?0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

- 2 -

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知

l2?h2?s2

将上式对时间t求导，得

dlds 2l?2s

dtdt 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，

dlds∴ v绳???v0,v船??

dtdt即 v船??vdsldll???v0?0 dtsdtscos?lv0(h2?s2)1/2v0?或 v船? ss将v船再对t求导，即得船的加速度

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtss 2l2(?s?)v022hv0s??s2s3s

教师评语 教师签字 月 日 - 3 -

第二章 运动与力

课 后 作 业

M l h ??

1、 一人在平地上拉一个质量为M的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h＝1.5 m，不计箱高，问绳长l为多长时最省力?

解：设绳子与水平方向的夹角为θ，则sin??h/l． 木箱受力如图所示，匀速前进时, 拉力为F, 有

F cosθ－f ＝0 2分

F sinθ＋N－Mg＝0 f＝μN

?Mg得 F? 2分

co?s??sin?dF?Mg(?sin???co?s)???0 令 2d?(co?s??sin?)? N ∴ tg????0.6，??30?57?36?? 2分

?f ?F ????P?Mg d2F?0 且 2d?∴ l＝h / sinθ＝2.92 m时，最省力．

2、一质量为60 kg的人，站在质量为30 kg的底板上，用绳和滑轮连接如图．设滑轮、绳的质量及轴处的摩擦可以忽略不计，绳子不可伸长．欲使人和底板能以1 m/s2的加速度上升，人对绳子的拉力T2多大？人对底板的压力多大? (取g＝10 m/s2)

解：人受力如图(1) 图2分 T2?N?m1g?m1a 1分

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m2m1

底板受力如图(2) 图2分 T1?T2?N??m2g?m2a 2分

T1?2T2 1分 N??N

由以上四式可解得 4T2?m1g?m2g?(m1?m2)a

∴ T2?(m1?m2)(g?a)/4?247.5 N 1分

N??N?m1(g?a)?T2?412.5 N 1分

3、一条轻绳跨过一轻滑轮(滑轮与轴间摩擦可忽略)，在绳的一端挂一质量为m1的物体，在另一侧有一质量为m2的环，求当环相对于绳以恒定的加速度a2沿绳向下滑动时，物体和环相对地面的加速度各是多少？环与绳间的摩擦力多大？

m2m1?a2

解：因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数值上等于绳子张力T ．设m2相

?，对地面的加速度为a2取向上为正；m1相对地面的加速度为a1(即绳子的加速度)，

取向下为正． 1分

m1g?T?m1a1 2分

? 2分 T?m2g?m2a2??a1?a2 2分 a2(m?m2)g?m2a2解得 a1?1 1分

m1?m2(2g?a2)m1m2 T? 1分

m1?m2(m?m2)g?m1a2??1 a2 1分

m1?m2

4、一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度?在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)．

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O L O′